高校数学「積分」∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘの不定積分

■　問題

∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘの不定積分を求めよ。

関数の積を積分するときは部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください。
２つの関数の積を積分する主な方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ，ｇ'(ｘ)＝ｅ^xとすると、ｆ'(ｘ)＝ｃｏｓｘ，ｇ(ｘ)＝ｅ^xです。
(ｅ^x)'＝ｅ^xだから、ｓｉｎｘではなくｅ^xをｇ'(ｘ)とした方が良いです。

　∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘ
＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−∫ｃｏｓｘ・ｅ^xｄｘ

ここで、∫ｃｏｓｘ・ｅ^xｄｘの部分もまた積なので、もう一度部分積分法を使います。

＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−{ｃｏｓｘ・ｅ^x−∫(−ｓｉｎｘ)・ｅ^xｄｘ}
＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−(ｃｏｓｘ・ｅ^x＋∫ｓｉｎｘ・ｅ^xｄｘ)

またｓｉｎｘとｅ^xの積が出てきたので、もう一度部分積分法を・・・としても間違いとは言えませんが、当然また同じことの繰り返しになってしまいます。

積分した結果出てきたコレ→∫ｓｉｎｘ・ｅ^xｄｘは、最初の∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘと全く同じです。
だから、∫ｅ^x・ｓｉｎｘｄｘ＝Ｉとおけば、Ｉについて方程式ができる！と考える事ができますね！

　Ｉ＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−(ｃｏｓｘ・ｅ^x＋Ｉ)
　Ｉ＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−ｃｏｓｘ・ｅ^x−Ｉ
２Ｉ＝ｓｉｎｘ・ｅ^x−ｃｏｓｘ・ｅ^x

∴　Ｉ＝(１／２)ｅ^x(ｓｉｎｘ−ｃｏｓｘ)＋Ｃ

さらに、三角関数の合成を使ってサインとコサインをひとつにまとめても良いです。


◆関連項目
不定積分、部分積分法
微分積分(数学３)まとめ


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