高校数学「積分」∫ｓｉｎ2ｘｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｓｉｎ²ｘｄｘの不定積分

■　問題

∫ｓｉｎ²ｘｄｘの不定積分を求めよ。


三角関数の積分をするときは、まず式の変形をする場合が多いです。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

三角関数の積分をするときは、可能な限り次数を低くするという方針が基本です。

ｓｉｎ²ｘは、半角の公式を使って１次式に直すことができます。
そして半角の公式はコサインの２倍角の公式から導くことができます。

ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ²ｘ−ｓｉｎ²ｘ
　　　　　＝１−２ｓｉｎ²ｘ

今回の問題では与式を変形するため、ｓｉｎ²ｘについて解きます。

２ｓｉｎ²ｘ＝１−ｃｏｓ２ｘ
　ｓｉｎ²ｘ＝(１−ｃｏｓ２ｘ)／２

だから、

　∫ｓｉｎ²ｘｄｘ
＝∫{(１−ｃｏｓ２ｘ)／２}ｄｘ

これで１次式の積分なので、慣れている人なら簡単に最後まで計算できますね！

＝(１／２){ｘ−(１／２)ｓｉｎ２ｘ}＋Ｃ
＝(１／４)(２ｘ−ｓｉｎ２ｘ)＋Ｃ


◆関連項目
不定積分、三角関数の不定積分
微分積分(数学３)まとめ


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