高校数学「積分」∫(ｓｉｎｘ)^5・(ｃｏｓｘ)^2ｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｓｉｎ⁵ｘ・ｃｏｓ²ｘｄｘの不定積分

■　問題

∫ｓｉｎ⁵ｘ・ｃｏｓ²ｘｄｘの不定積分を求めよ。


三角関数の積分をするときは、まずは式の変形をすることが多いです。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

三角関数の相互関係の公式を使うと、サインはコサインに、コサインはサインに変えることができますね。

ｓｉｎ²ｘ＋ｃｏｓ²ｘ＝１だから、
ｓｉｎ²ｘ＝１−ｃｏｓ²ｘ
ｃｏｓ²ｘ＝１−ｓｉｎ²ｘ

ですね。
これを使って、サインかコサインに統一すると計算しやすくなります。

そして、ｔ＝ｃｏｓｘとすると、ｄｔ／ｄｘ＝−ｓｉｎｘだから、ｄｔ＝−ｓｉｎｘ・ｄｘです。
つまり、置換積分法を使うときに、−ｓｉｎｘ・ｄｘというかたまりをｄｔに置き換える。という前提で式の変形を考えていくとよいです。

ｓｉｎ⁵ｘ・ｃｏｓ²ｘ
＝ｓｉｎ⁴ｘ・ｓｉｎｘ・ｃｏｓ²ｘ
＝(１−ｃｏｓ²ｘ)²・ｓｉｎｘ・ｃｏｓ²ｘ

ここでｃｏｓｘ＝ｔとすると、

＝(１−ｔ²)²・ｔ²・ｓｉｎｘ

だから与式は次のように変形できます。

∫(１−ｔ²)²・ｔ²・ｓｉｎｘｄｘ

−ｓｉｎｘｄｘ＝ｄｔだから、

＝−∫(１−ｔ²)²・ｔ²ｄｔ
＝−∫(１−２ｔ²＋ｔ⁴)ｔ²ｄｔ
＝−∫(ｔ²−２ｔ⁴＋ｔ⁶)ｄｔ

あとは普通に定積分して、ｔを戻すと、

＝−(１／３)ｔ³＋(２／５)ｔ⁵−(１／７)ｔ⁷＋Ｃ
＝−(１／３)ｃｏｓ³ｘ＋(２／５)ｃｏｓ⁵−(１／７)ｃｏｓ⁷ｘ＋Ｃ


◆関連項目
不定積分
微分積分(数学３)まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−