高校物理「万有引力」地上から物体を打ち上げ、落下するときの初速

高校物理「万有引力」地上から物体を打ち上げ、落下するときの初速

◆問題

地球の表面から、ある初速度で鉛直上方物体を打ち上げる。地球の半径をＲ，地表での重力加速度の大きさをｇとして、次の問いに答えよ。

(1) 初速度ｖ1でこの物体を打ち上げたとき、この物体は地表から高さｈの点まで上昇し、地面に向かって落下した。このようなｖ1を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解説

地表から打ち上げられた物体がある点に達し、落下して地上まで落ちてくる場合について考えます。
こうなるのは、速さが充分でないからですね。
もし充分に速ければ、地球の重力圏を脱して、はるか遠くまで飛び去ることができるはずです。
これはどんな条件を満たしている場合かといえば・・・

「最高点での力学的エネルギーがマイナス」
→「運動エネルギーがゼロになったときの位置エネルギーがマイナス」

です。
物体は、打ち上げられた瞬間から地表に再び接触するまで力学的エネルギーの保存が成り立つと考えて、物体の質量をｍ，地球の質量をＭとして、

(１／２)ｍｖ^2＋(−Ｇ・Ｍｍ／Ｒ)＝−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)

このような式が成り立ちます。
速さを求めるので、これをｖについて解きます。

まず両辺に２をかけてｍで割ると、

ｖ^2−２ＧＭ／Ｒ＝−２ＧＭ／(Ｒ＋ｈ)

移項して、通分して、まとめて、

ｖ^2＝２ＧＭ／Ｒ−２ＧＭ／(Ｒ＋ｈ)
　　＝{２ＧＭ(Ｒ＋ｈ)−２ＧＭＲ}／Ｒ(Ｒ＋ｈ)
　　＝２ＧＭｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)

両辺の平方根をとれば、

ｖ＝√{２ＧＭｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}

これが打ち出した速さなので、

ｖ1＝√(２ＧＭｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}


次の問題→第２宇宙速度を求める


◆関連項目
万有引力による位置エネルギー
円運動・単振動・万有引力まとめ


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