高校数学「積分」∫ｘ^2・ｃｏｓｘｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｘ²・ｃｏｓｘｄｘの不定積分

■　問題

∫ｘ²・ｃｏｓｘｄｘの不定積分を求めよ。


関数の積の積分なので、部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)−∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘにおいて、ｆ(ｘ)＝ｘ²，ｇ'(ｘ)＝ｃｏｓｘとすると、

　∫ｘ²・ｃｏｓｘｄｘ
＝ｘ²・ｓｉｎｘ−∫２ｘ・ｓｉｎｘｄｘ

∫２ｘ・ｓｉｎｘｄｘにもう一度部分積分法を用いると、

＝ｘ²・ｓｉｎｘ−{２ｘ・(−ｃｏｓｘ)−∫２・(−ｃｏｓｘ)ｄｘ}

あとは普通に計算してなるべく簡単にします。

＝ｘ²・ｓｉｎｘ−２(−ｘ・ｃｏｓｘ＋∫ｃｏｓｘｄｘ)
＝ｘ²・ｓｉｎｘ＋２ｘ・ｃｏｓｘ−２ｓｉｎｘ＋Ｃ
＝(ｘ²−２)ｓｉｎｘ＋２ｘｃｏｓｘ＋Ｃ


◆関連項目
不定積分
微分積分(数学３)まとめ


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