高校数学「積分」ｙ＝ｘｅ^(-x)，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ^2で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ²で囲まれた図形の面積

■　問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ²


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

式が少し難しく見えますが、面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。

ｙ＝ｘ／ｅとｙ＝ｘ／ｅ²はともに１次関数というか比例なので、これらは原点を通ります。
だから交点は(０，０)ですね。

その他の交点は普通に連立方程式を解きます。

ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅより、
ｘｅ^-x＝ｘ／ｅ
ｘｅ^-x−ｘ／ｅ＝０
ｘ(ｅ^-x−１／ｅ)＝０
よって、ｘ＝０，ｅ^-x−１／ｅ＝０すなわちｘ＝１

ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ²より、
ｘ(ｅ^-x−１／ｅ²)＝０
よって、ｘ＝０，ｅ^-x−１／ｅ²＝０すなわちｘ＝２

グラフはここでは省略しますが、０〜１の区間はｙ＝ｘ／ｅとｙ＝ｘ／ｅ²の間、１〜２の区間はｙ＝ｘｅ^-2とｙ＝ｘ／ｅ²の間の面積を計算すればＯＫです。
これはつまり、∫[0〜1](ｘ／ｅ)ｄｘ＋∫[1〜2](ｘｅ^-x)ｄｘ−∫[0〜2](ｘ／ｅ²)ｄｘとなります。

∫[0〜1](ｘ／ｅ)ｄｘと∫[0〜2](ｘ／ｅ²)ｄｘの部分は三角形なので、普通に頂点の座標から面積を出します。

∫[0〜1](ｘ／ｅ)ｄｘ＝(１／２)×１×１／ｅ＝１／２ｅ
∫[0〜2](ｘ／ｅ²)ｄｘ＝(１／２)×２×２／ｅ²＝２／ｅ²

∫[1〜2](ｘｅ^-x)ｄｘの部分は曲線なので、定積分の計算をちゃんとやります。
ｘとｅ^-xの積の積分なので、部分積分法を使って、

　∫[1〜2](ｘｅ^-x)ｄｘ
＝[−ｘｅ^-x][1〜2]＋∫[1〜2]ｅ-xｄｘ
＝−２ｅ^-2−(−ｅ^-1)＋[−(ｅ^-x][1〜2]
＝−２／ｅ²＋１／ｅ＋(−１／ｅ²＋１／ｅ)
＝−３／ｅ²＋２／ｅ

というわけで、求める面積は、

　１／２ｅ＋(−３／ｅ²)＋２／ｅ−２／ｅ²
＝５／２ｅ−５／ｅ²
＝(５ｅ−１０)／２ｅ²
＝５(ｅ−２)／２ｅ²


◆関連項目
部分積分法、面積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−