高校物理「力のモーメント」直方体が倒れない条件

高校物理「力のモーメント」直方体が倒れない条件

◆問題

高さｈ[ｍ]，幅ａ[ｍ]，質量ｍ[ｋｇ]の直方体を、水平な床の上に置き、直方体の上の角を水平方向にＴ[Ｎ]の力で引っ張った。物体と床との静止摩擦係数をμとして、物体が倒れることなく動き出す条件を求めよ。


参考図

　┌─┐→Ｔ
　｜　｜
　└─┘
――――――――床

★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。2020年７月現在、平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

こういった問題のときは、回転の中心に関する力のモーメントのつり合いを考えます。

まずは物体にはたらく力を整理すると、

直方体の真ん中に重力が鉛直下向きにはたらきます。Ｗ＝ｍｇですね。
物体の上の角をＴの力で引っ張るという設定です。そして、摩擦力Ｆがあるため、物体は静止しています。
すると、参考図の右下の角が回転の中心となり、物体が回転をはじめるときは、この右下の点が垂直抗力Ｎの作用点となります。

動き出す直前までは、これらの力のつり合いが成り立ちます。つまり、

Ｔ＝Ｆ，Ｎ＝ｍｇ

ですね。

そして回転を始める瞬間までは力のモーメントもつり合っています。
直方体の右下の点のまわりの力のモーメントを考えると、

ｍｇ・ａ／２＝Ｔｈ

が成り立ちます。
これをＴについて解くと、Ｔ＝ｍｇａ／２ｈです。
これがつり合っているときの力を表すので、Ｔがこれをこえると物体は回転します。

Ｔ＝Ｆなのでこのときの摩擦力はＴ＝Ｆ＝ｍｇａ／２ｈとなります。

一方、最大摩擦力はμＮ＝μｍｇです。
これをこえる力を受けると直方体は滑り出します。

「物体が倒れることなく動き出す条件」を聞いているのだから、

ｍｇａ／２ｈ＞μｍｇ
　　ａ／２ｈ＞μ

これが求める条件となります。


■関連問題
一部が切り取られた立方体の重心など

力のモーメント・運動量まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−