高校数学「積分」ｙ＝ｘｅx，ｘ＝−１，ｘ＝１，ｘ軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘｅ^x，ｘ＝−１，ｘ＝１，ｘ軸で囲まれた図形の面積

■　問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

ｙ＝ｘｅ^x，ｘ＝−１，ｘ＝１，ｘ軸


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ²で囲まれた図形の面積より少し簡単な問題です。

面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。
とはいっても、この問題の場合は、ｙ＝ｘｅ^xは原点を通るし、それ以外はｘ＝−１，ｘ＝１とｘ軸なので、積分の区間も簡単にわかります。

詳しくは増減表を書くなどして、確認するべきですが、原点より左ではｘ軸より下側、原点より右ではｘ軸より上側だから、

Ｓ＝−∫[-1〜0]ｘｅ^xｄｘ＋∫[0〜1]ｘｅ^xｄｘ

ですね。
部分積分法を用いて普通に計算します。

　＝−[ｘｅ^x][-1〜0]−(−∫[-1〜0]ｅ^xｄｘ)＋[ｘｅ^x][0〜1]−∫[0〜1]ｅ^xｄｘ
　＝−{０−(−１・１／ｅ)}＋[ｅ^x][-1〜0]＋ｅ−０−[ｅ^x][0〜1]
　＝−１／ｅ＋１−１／ｅ＋ｅ−(ｅ−１)
　＝２−２／ｅ
　＝２(１−１／ｅ)


◆関連項目
部分積分法、面積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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