2022年07月06日

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

■ 問題

次の曲線とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

y=2−x2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは、y=2−x2とx軸との交点を求めます。
x軸上はy=0なので、0=2−x2より、x2−2=0を因数分解して、(x−√2)(x+√2)=0だから、x=±√2

曲線y=f(x)とx軸との間の図形の回転体の体積Vは

V=π・∫[a〜b]y2dx

で求められます。a,bは、積分の区間でこの場合はx軸との交点ですね。
だから、

V=π・∫[-√2〜√2](2−x2)2dx
 =π・∫[-√2〜√2](4−4x2+x4)dx

この図形はy軸に対して対称なので、第1象限の部分を2倍すると考えると良いです。

 =2π・∫[0〜√2](4−4x2+x4)dx
 =2π[4x−(4/3)x3+(1/5)x5][0〜√2]
 =2π{4√2−(4/3)(√2)3+(1/5)(√2)5}
 =2π{4√2−(4/3)・2√2+(1/5)・4√2}
 =2π(60−40+12)√2/15
 =(64/15)√2・π


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]


この記事へのトラックバック
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN