■ 問題
次の曲線とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。
y=2−x2
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
まずは、y=2−x2とx軸との交点を求めます。
x軸上はy=0なので、0=2−x2より、x2−2=0を因数分解して、(x−√2)(x+√2)=0だから、x=±√2
曲線y=f(x)とx軸との間の図形の回転体の体積Vは
V=π・∫[a〜b]y2dx
で求められます。a,bは、積分の区間でこの場合はx軸との交点ですね。
だから、
V=π・∫[-√2〜√2](2−x2)2dx
=π・∫[-√2〜√2](4−4x2+x4)dx
この図形はy軸に対して対称なので、第1象限の部分を2倍すると考えると良いです。
=2π・∫[0〜√2](4−4x2+x4)dx
=2π[4x−(4/3)x3+(1/5)x5][0〜√2]
=2π{4√2−(4/3)(√2)3+(1/5)(√2)5}
=2π{4√2−(4/3)・2√2+(1/5)・4√2}
=2π(60−40+12)√2/15
=(64/15)√2・π
◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学