高校数学「積分」ｙ＝ｘ，ｙ＝−ｘ^2＋４ｘで囲まれた図形の回転体の体積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ，ｙ＝−ｘ²＋４ｘで囲まれた図形の回転体の体積

■　問題

次の直線と曲線とで囲まれた図形をｘ軸のまわりに回転してできる立体の体積Ｖを求めよ。

ｙ＝ｘ，ｙ＝−ｘ²＋４ｘ


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

まずは２つの関数の交点を求めます。

−ｘ²＋４ｘ＝ｘ
−ｘ²＋３ｘ＝０
ｘ(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝０，３

２次関数と直線で囲まれた図形の回転体なので、それらの間となるためには、「上の関数の回転体」から「下の関数の回転体」を差し引く。というイメージです。
つまり、求める体積Ｖは、

Ｖ＝π∫[0〜3](−ｘ²＋４ｘ)²ｄｘ−π∫[0〜3]ｘ²ｄｘ

これを計算することで求められます。
積分の区間が共通なので、ひとつにまとめて、

　＝π∫[0〜3]{(−ｘ²＋４ｘ)²−ｘ²}ｄｘ
　＝π∫[0〜3](ｘ⁴−８ｘ³＋１６ｘ²−ｘ²)ｄｘ
　＝π∫[0〜3](ｘ⁴−８ｘ³＋１５ｘ²)ｄｘ

あとは普通に定積分を計算します。

　＝π[(１／５)ｘ⁵−２ｘ⁴＋５ｘ³][0〜3]
　＝π(１／５)・３⁵−２・３⁴＋５・３³)
　＝２７π(９／５−６＋５)
　＝２７π×(９−３０＋２５)／５
　＝２７π×４／５
　＝(１０８／５)π


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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