高校数学「積分」ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１の回転体

高校数学「積分」ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１の回転体

■　問題

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１で表される楕円を、ｘ軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

楕円ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１は、上下対称かつ左右対称なので、第１象限の図形を回転して２倍する。と考えればＯＫです。
つまり、

Ｖ＝２×π∫[0〜a]ｙ²ｄｘ

を計算すれば良い。と考えられます。

楕円の式を変形して、

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１
　　　　ｙ²／ｂ²＝１−ｘ²／ａ²
　　　　　　ｙ²＝ｂ²−ｂ²ｘ²／ａ²
　　　　　　ｙ²＝ｂ²(１−ｘ²／ａ²)

これを代入すると、

Ｖ＝２π∫[0〜a]{ｂ²(１−ｘ²／ａ²)}ｄｘ

あとはひたすら計算です。

　＝２πｂ²[ｘ−ｘ³／３ａ²][0〜a]
　＝２πｂ²(ａ−ａ³／３ａ²]
　＝２πｂ²(ａ−ａ／３)
　＝２πｂ²・２ａ／３
　＝４πａｂ²／３


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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