2022年07月23日

高校物理「力のモーメント」台に物体をのせて単振動させたときD

高校物理「力のモーメント」台に物体をのせて単振動させたときD

◆問題

ばね定数kの軽いばねの下端を床に固定し、上端に質量Mの水平な台を取り付けた。この台の上に質量mの物体をのせ、物体と台が離れないように鉛直方向に単振動させる。物体のつり合いの位置からの変位をx,重力加速度をgとして次の問いに答えよ。

(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき、自然長からのばねの縮みを求めよ。

(2) 台と物体が一体となって単振動しているときの物体の加速度aを求めよ。

(3) 台が物体を押す力fを求めよ。

(4) 台が最高点に達したとき、台が物体を押す力がちょうど0になるとする。このときの単振動の振幅r0を求めよ。

(5) 台をつり合いの位置から√2・r0だけ押し下げ、静かに離すと、物体はつり合いの位置からの変位がx1の位置で台から離れた。変位x1とそのときの物体の速さvを求めよ。


この記事では(5)を解説します。


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◆解説

物体が台から離れたあとは、当然、台は物体を押すことができません。
ならば、物体が台から離れる瞬間は、「台が物体を押す力がゼロになる瞬間」ということができますね。

つまり、f=0になるときだから、変位がr0になったときです。

x1=r0=g(m+M)/k

そしてこのときの速さを求めます。

単振動は力学的エネルギーが保存するので、K1+U1=K2+U2の方程式を立てることができます。

振動の中心の位置エネルギーの基準とすると、

0+(1/2)k(√2・r0)2=(1/2)(m+M)v2+(1/2)kx12

両辺を2倍すると、

k(√2・r0)2=(m+M)v2+kx12

vについて解いていきます。

(m+M)v2=k(√2・r0)2−kx12
    v2={k(√2・r0)2−kx12}/(m+M)

x1=r0=g(m+M)/kを代入して、

2=[2k・{g(m+M)/k}2−k・{g(m+M)/k}2]/(m+M)
 =k・{g(m+M)/k}2/(m+M)
 =g2(m+M)/k
v=g・√{(m+M)/k}


この問題の最初に戻る→(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき、自然長からのばねの縮みを求めよ。


■関連問題
バネにつるされた棒に2つのおもりがつるされたとき

力のモーメント・運動量まとめ


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