高校数学「積分」ｙ＝ｘ2をｙ軸のまわりに回転した回転体

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²をｙ軸のまわりに回転した回転体

■　問題

ｙ＝ｘ²とｙ＝２て囲まれる図形をｙ軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｙ軸のまわりの回転体の体積Ｖは、区間を[a〜b]とすると、次の式で表されます。

Ｖ＝π∫[a〜b]ｘ²ｄｙ
　＝π∫[a〜b]{ｆ(ｘ)}²ｄｙ

「ｙ軸のまわりだから、ｙについて積分」という考えですね。

ｙ＝ｘ²は原点を頂点とする放物線で、ｙ＝２との間で囲まれた図形だから、積分の区間は[0〜2]です。
よって、

Ｖ＝π∫[0〜2]ｘ²ｄｙ

ｙについて積分するから、ｘをｙで置き換えます。
ｙ＝ｘ²だから、

　＝π∫[0〜2]ｙｄｙ
　＝π[(１／２)ｙ²][0〜2]
　＝π・(１／２)・２²
　＝２π


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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