高校物理「力のモーメント」円板をくりぬいた場合の重心

高校物理「力のモーメント」円板をくりぬいた場合の重心

◆問題

直径ＡＢ，中心Ｏ，質量４ｍ[ｋｇ]，半径ｒ[ｍ]の一様な円板から、直径がＢＯの円板をくりぬいた。
くりぬいた後の大きい方の円板の重心の位置を求めよ。


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◆解説

くりぬいた円盤の半径はもとの円盤の半径の半分なので、面積はもとの円盤の１／４になります。
どちらも円で相似だから、相似な図形の面積比は相似比の２乗ということで、１：４だから１／４。などと考えるとわかりやすいと思います。
もちろん、普通に面積を計算しても良いです。

そして、「一様な円盤」なので、質量比は面積比と同じです。
つまり、くりぬいた小さな円盤の質量は４ｍ×１／４＝ｍ[ｋｇ]です。

そして、くりぬかれた方は４ｍ−ｍ＝３ｍ[ｋｇ]ですね。

くりぬいた円盤をもとに戻せば、もとの円盤と同じになるので、全体の重心はＯになります。

Ｏを原点として、求める重心の位置をｘとすると、重心の公式を使うことができます。
小さな円盤の重心は円盤の中心だから、Ｏとの距離はｒ／２ですね。
よって、

(３ｍ×ｘ＋ｍ×ｒ／２)／(３ｍ＋ｍ)＝０

このような式ができます。
あとはこれをｘについて解きます。

３ｍｘ＋ｍｒ／２＝０
３ｍｘ＝−ｍｒ／２
　　ｘ＝−ｒ／６

符号がマイナスということは、「Ａ側にｒ／６の位置」を意味します。


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