面積は2次式で、体積は3次式になります。
だから、「面積を積分すると体積になる」というのが基本的な方針です。
面積を表す式S(x)と区間[a〜b]がわかっていれば、体積Vは
★V=∫[a〜b]S(x)dx
です。
式や区間がわかっていなくても、問題の設定から求めることができる場合もあります。
回転体の場合は、その断面の面積がS=πr2で求められ、r=yとなるから、
★V=π・∫[a〜b]y2dx
で求めることができます。
普通の式では、y=f(x)なので、さらに、以下のように書き換えることができます。
★V=π・∫[a〜b]{f(x)}2dx
つまり、
「関数の式を2乗したやつを定積分して、πをかける」
というわけです。
数学3微分の解き方の習得に活用してください。好評です!
◆関連項目
y=x,y=−x2+4xで囲まれた図形の回転体、x2/a2+y2/b2=1の回転体、y=x2をy軸のまわりに回転した回転体
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学