高校物理「万有引力」地表とｈでの位置エネルギーの差

高校物理「万有引力」地表とｈでの位置エネルギーの差

◆問題

地表から高さｈの位置にある質量ｍ物体について、次の問いに答えよ。ただし、地球の半径をＲ，重力加速度の大きさをｇとする。

(1) 物体が高さｈの点で受けている重力の大きさを、ｍ，ｇ，Ｒ，ｈを用いて表せ。

(2) 物体が地表にあるときと比べて、高さｈの点では、無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギーはどれだけ大きいか、ｍ，ｇ，Ｒ，ｈを用いて表せ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギーは、

Ｕ＝−Ｇ・Ｍｍ／ｒ

で表されます。

これに、地表の場合と高さｈの場合の条件を代入して比較すればＯＫですね！

地表の場合は、ｒ＝Ｒだから、Ｕ地表＝−Ｇ・Ｍｍ／Ｒ

高さｈの場合は、ｒ＝Ｒ＋ｈだから、Ｕh−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)

です。
(1)と同様に、Ｇ，Ｍをそれぞれ消去すると、

Ｕ地表＝−ｇＲ²・ｍ／Ｒ＝−ｍｇＲ
Ｕh＝−ｇＲ²・ｍ／(Ｒ＋ｈ)＝−ｍｇＲ²／(Ｒ＋ｈ)

問題では差を聞いているので、その通りにＵh−Ｕ地表を計算します。

Ｕh−Ｕ地表＝−ｍｇＲ²／(Ｒ＋ｈ)−(−ｍｇＲ)
　　　　　＝−ｍｇＲ²／(Ｒ＋ｈ)＋(Ｒ＋ｈ)ｍｇＲ／(Ｒ＋ｈ)
　　　　　＝ｍｇｈＲ／(Ｒ＋ｈ)

というわけで、地表と高さｈでの万有引力による位置エネルギーの差はｍｇｈＲ／(Ｒ＋ｈ)であることがわかりました。


最初に戻る→物体が高さｈの点で受けている重力の大きさ


◆関連項目
万有引力による位置エネルギー
円運動・単振動・万有引力まとめ


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