高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝(ｘ^2−８)ｅ^xの最大最小

高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝(ｘ²−８)ｅ^xの最大最小

■　問題

関数ｆ(ｘ)＝(ｘ²−８)ｅ^xの、区間[−４，４]における最大値と最小値を求めよ。


区間の両端と極値を比較します。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

まずは極値を求めるために、関数を微分します。

ｆ(ｘ)＝(ｘ²−８)ｅ^x

(ｘ²−８)とｅ^xが掛けてあるので、積の微分法ですね。

ｆ'(ｘ)＝(ｘ²−８)'ｅ^x＋(ｘ²−８)(ｅ^x)'
　　＝２ｘｅ^x＋(ｘ²−８)ｅ^x
　　＝ｅ^x(ｘ²＋２ｘ−８)
　　＝ｅ^x(ｘ＋４)(ｘ−２)

これが導関数の値で、ｆ'(ｘ)＝０が極値です。
ｅ^x＞０なのでこれは解なし。ｘ＋４＝０よりｘ＝−４，ｘ−２＝０よりｘ＝２

というわけで、極値はｘ＝−４，２のところです。

ｆ(−４)＝(１６−８)ｅ^-4
　　　＝８／ｅ⁴

ｆ(２)＝(４−８)ｅ²
　　＝−４ｅ²

あとは区間の右端のｘ＝４の場合を計算してみます。

ｆ(４)＝(１６−８)ｅ⁴
　　＝８ｅ⁴

というわけで、

最小はｘ＝２のとき−４ｅ²
最大はｘ＝４のとき８ｅ⁴

ですね！


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法
微分積分(数学３)まとめ


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