2022年08月16日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学2B第5問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学2B第5問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2021年第1日程共通テスト数2Bより

第5問

 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをαとする。

(1) 1辺の長さが1の正五角形OA1B1C1A2を考える。

(図はここでは省略します)

 ∠A1C1B1=[アイ]°,∠C1A1A2=[アイ]°となることから、→A1A2と
→B1C1は平行である。ゆえに

  →A1A2=[ウ]・→B1C1

であるから

  →B1C1=(1/[ウ])・→A1A2=(1/[ウ])(→OA2−→OA1)

 また、→OA1と→A2B1は平行で、さらに、→OA2と→A1C1も平行である
ことから

  →B1C1=→B1A2+→A2O+→OA1+→A1C1
      =−[ウ]・→OA1−→OA2+→OA1+[ウ]・→OA2
      =([エ]−[オ])(→OA2−→OA1)

となる。したがって

  1/[ウ]=[エ]−[オ]

が成り立つ。a>0に注意してこれを解くと、a=(1+√5)/2を得る。


(2) 下の図のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

(図はここでは省略します)

 面OA1B1C1A2に着目する。→OA1と→A2B1が平行であることから

  →OB1=→OA2+→A2B1=→OA2+[ウ]・→OA1

である。また

  |→OA2−→OA1|^2=|→A1A2|^2=([カ]+√[キ])/[ク]

に注意すると

  →OA1・→OA2=([ケ]−√[コ])/[サ]

を得る。


(図はここでは省略します)

 次に、面OA2B2C2A3に着目すると

  →OB2=→OA3+[ウ]・→OA2

である。さらに

  →OA2・→OA3=→OA3・→OA1=([ケ]−√[コ])/[サ]

が成り立つことがわかる。ゆえに

  →OA1・→OB2=[シ],→OB1・→OB2=[ス]

である。

[シ],[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 0  {1} 1  {2} −1  {3] (1+√5)/2         |
| {4} (1−√5)/2  {5} (−1+√5)/2  {6} (−1−√5)/2 |
| {7} −1/2  {8} (−1+√5)/4  {9} (−1−√5)/4    |
――――――――――――――――――――――――――――――――――


(図はここでは省略します)

 最後に、面A2C1DEB2に着目する。

  →B2D=[ウ]・→A2C1=→OB1

であることに注意すると、4点O,B1,D,B2は同一平面上にあり、
四角形OB1DB2は[セ]ことがわかる。

[セ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 正方形である                          |
| {1} 正方形ではないが、長方形である                 |
| {2} 正方形ではないが、ひし形である                 |
| {3} 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である          |
| {4} 平行四辺形ではないが、台形である                |
| {5} 台形でない                           |
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの四則計算
 ◆3 △A1C1B1は二等辺三角形

(以下略)

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■ 解説


◆1,2は省略します。


 ◆3 △A1C1B1は二等辺三角形

前置きはこの辺にして、今回の問題です。
共通テスト第5問では、まず「1辺の長さが1の正五角形OA1B1C1A2」を
考えます。

正五角形なので、もちろん、5つの辺の長さが等しく、5つの角の大きさが等しい
ですね。

n角形の内角の和は、(n−2)×180°なので、五角形なら

(5−2)×180°=3×180°=540°

だから一つの内角は、540°÷5=108°

となります。例えば、∠A1B1C1=108°ですね。

△A1C1B1に注目すると辺A1B1と辺B1C1は正五角形の辺だから等しく、
二等辺三角形であることがわかります。∠A1C1B1はその底角なので、


(以下略)


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