高校物理「運動量の保存」床の上を繰り返し跳ねる小球�C

高校物理「運動量の保存」床の上を繰り返し跳ねる小球�C

◆問題

なめらかで水平な床上の点Ｏから、仰角θ、速さｖ0で小球を投げ上げた。小球は点Ｑ1で床と１回の衝突をして跳ね返り、再び放物運動をした後、点Ｑ2で２回目の衝突をした。その後、小球は床と衝突を繰り返し、点Ｒを通過した後は床の上を滑り出した。小球と床の間の反発係数をｅ(＜１)、重力加速度をｇとして次の問いに答えよ。

(1) 小球が点Ｏから点Ｑ1に達するまでの時間を求めよ。

(2) ＯＱ1間の距離を求めよ。

(3) Ｑ1Ｑ2間の距離を求めよ。

(4) ＯＲ間の距離を求めよ。


この記事では(4)を解説します。


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◆解説

(2)から、ＯＱ1の距離はｖ0²ｓｉｎ２θ／ｇであり、
(3)から、Ｑ1Ｑ2の距離は(ｅｖ0²／ｇ)ｓｉｎ２θである
ことがわかりました。

すなわち、距離はｅ倍になっています。
１回跳ね返るたびにｅ倍になる。ということです。
考えてみれば、反発係数がｅだから当然ｅ倍ですね。

ならば、この跳ね返る物体の移動は、等比数列で表すことができる。と考えられます。

ＯＲは、初項がｖ0²ｓｉｎ２θ／ｇ，公比がｅの等比数列の和だから、等比数列の和の公式を用いて、

ＯＲ＝(ｖ0²ｓｉｎ２θ／ｇ)(１−ｅⁿ)／(１−ｅ)

ここで、０＜ｅ＜１で、ｎは限りなく大きいので、ｌｉｍ[n→∞]ｅⁿ＝０だから、

ＯＲ＝(ｖ0²ｓｉｎ２θ／ｇ)／(１−ｅ)
　　＝ｖ0²ｓｉｎ２θ／ｇ(１−ｅ)


この問題の最初に戻る→(1) 小球が点Ｏから点Ｑ1に達するまでの時間を求めよ。


■関連項目
等比数列の和
力のモーメント・運動量まとめ


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