高校物理「力学」「万有引力」地表からの高度Ｒの円軌道をまわる人工衛星�@

高校物理「力学」「万有引力」地表からの高度Ｒの円軌道をまわる人工衛星�@

地球の半径をＲ，地表での重力加速度をｇとする。地表からの高度Ｒの円軌道をまわっている質量ｍの人工衛星について、次の問いに答えよ。

(1) 人工衛星の速さを求めよ。


解き方の習得におすすめの問題集です。




人工衛星の軌道は円軌道と考えられるので、円運動の公式が使えます。

ｖ＝ｒω
Ｆ＝ｍｒω^2＝ｍ(ｖ^2／ｒ)

さらに、円運動の向心力は、万有引力であると考えられるので、万有引力の公式も使えるはずです。

Ｆ＝Ｇ(ｍ1ｍ2／ｒ^2)

ですね。
今回の問題では、人工衛星の質量はｍで、人工衛星は地表からＲの高さを周回しているので、回転半径は２Ｒとなります。
つまり、ｒ＝２Ｒですね。

円運動の向心力と万有引力が等しいから、地球の質量をＭとすると

ｍ(ｖ²／２Ｒ)＝ＧＭｍ／(２Ｒ)²

という式が成り立ちます。
速さを聞いているので、ｖについて解くと、

ｖ²＝ＧＭ／２Ｒ
よって、ｖ＝√(ＧＭ／２Ｒ)

問題文ではＧ，Ｍは与えられていないので、消去することを考えます。

一般に、重力Ｗ＝ｍｇであり、Ｗ＝ＧＭｍ／Ｒ²だから、ｍｇ＝ＧＭｍ／Ｒ²です。
これをさらに変形すると、ＧＭ＝ｇＲ²が得られます。
先ほどのｖ＝√(ＧＭ／２Ｒ)に代入すると、

ｖ＝√(ｇＲ²／２Ｒ)
　＝√(ｇＲ／２)


次の問題→人工衛星の力学的エネルギー


◆関連項目
地球の公転
円運動・万有引力まとめ


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