高校物理「運動量の保存」ばねで連結された小球の衝突�@

高校物理「運動量の保存」ばねで連結された小球の衝突�@

◆問題

小球Ａ，Ｂ，Ｃがあり、小球ＡとＢはばね定数ｋの軽いばねで連結されている。小球ＡとＣの質量はｍ，小球Ｂの質量はＭとする。小球Ａ，Ｂ，Ｃはなめらかな水平面上にこの順に並べられ、小球Ａは左側が壁に接している。

参考図
│
│Ａ〜〜Ｂ　　Ｃ
└────────

(1) 小球Ｃが左向きに一定の速さｖ0で進み、小球Ｂと弾性衝突した。この衝突直後の小球Ｂの速さＶを、ｍ，Ｍ，ｖ0を用いて表せ。


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◆解説

「ＣはＢと弾性衝突する」ので、衝突の前後でエネルギーが保存します。
また、衝突した瞬間はＢとＣの間で力を及ぼし合うだけなので、運動量も保存します。

衝突前はＢは静止しているので運動量は(運動エネルギーも)ゼロ。Ｃはｖ0の速さで運動しているので運動量はｍｖ0ですね。(運動エネルギーは(１／２)ｍｖ0²)

衝突後はＢの速さはＶ，Ｃの速さは与えられていないのでｖとすると、運動量はそれぞれＭＶ，ｍｖとなります。

運動量が保存するので、ｍｖ0＝ＭＶ＋ｍｖが成り立ちます。
この式だけでは、ｖが残ってしまうので、もう一つ式を立ててｖを消去することを考えます。

「弾性衝突」なので、反発係数は１と決まります。
反発係数の式にｅ＝１とここまでの速さを代入すると、

１＝−(ｖ−Ｖ)／(ｖ0−０)
ｖ0＝−ｖ＋Ｖ
ｖ＝Ｖ−ｖ0

これをｍｖ0＝ＭＶ＋ｍｖに代入すると、

ｍｖ0＝ＭＶ＋ｍ(Ｖ−ｖ0)
ｍｖ0＝ＭＶ＋ｍＶ−ｍｖ0

あとはＶについて解きます。

ＭＶ＋ｍＶ＝２ｍｖ0
Ｖ(Ｍ＋ｍ)＝２ｍｖ0
　　　Ｖ＝２ｍｖ0／(Ｍ＋ｍ)


次の問題→壁がＡに与える力積


■関連項目
力のモーメント・運動量まとめ


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