高校数学「積分」円をｙ軸のまわりに回転してできる回転体

高校数学「積分」(ｘ−３)²＋ｙ²＝４をｙ軸のまわりに回転してできる回転体

■　問題

円(ｘ−３)²＋ｙ²＝４をｙ軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｙ軸のまわりの回転体の体積Ｖは、「ｙ軸のまわりだから、ｙについて積分」という考え方で求めることができます。
ｙ軸を中心に回転するので、ｘ座標を使って積分する。というイメージです。

まずは与式をｘについて解きます。

(ｘ−３)²＝４−ｙ²
ｘ−３＝±√(４−ｙ²)
　　ｘ＝３±√(４−ｙ²)

ｙ軸を中心に回転した回転体は、上下対称なので、半分の体積を出して２倍すると考えると、計算が楽になりますね。
求める体積をＶとすると、

(１／２)Ｖ＝π∫[0〜2]{３＋√(４−ｙ²)}²ｄｙ−π∫[0〜2](３−√{４−ｙ²)}²ｄｙ

計算式が長くなるので、ここではまず、{３＋√(４−ｙ²)}²をとり出して計算してみます。

　{３＋√(４−ｙ²)}²
＝９＋６√(４−ｙ²)＋４−ｙ²
＝１３−ｙ²＋６√(４−ｙ²)

{３＋√(４−ｙ²)}²も同様にして、

　{３＋√(４−ｙ²)}²
＝１３−ｙ²−６√(４−ｙ²)

これらを差し引くと、

　１３−ｙ²＋６√(４−ｙ²)−{１３−ｙ²−６√(４−ｙ²)}
＝１３−ｙ²＋６√(４−ｙ²)−１３＋ｙ²＋６√(４−ｙ²)
＝１２√(４−ｙ²)

つまり、

(１／２)Ｖ＝１２π∫[0〜2]√(４−ｙ²)ｄｙ
よって、Ｖ＝２４π∫[0〜2]√(４−ｙ²)ｄｙ

ルートの中身がａ²−ｂ²の形なので、ｙ＝２ｓｉｎθとおいて、

ｄｙ／ｄθ＝２ｃｏｓθで、ｙが０→２のときθは０→π／２だから、

Ｖ＝２４π∫[0〜π/2](４−４ｓｉｎ²θ)ｄθ
　＝２４π∫[0〜π/2]４ｃｏｓ²θｄθ

２倍角の公式(半角の公式)より、ｃｏｓ²θ＝(１＋ｃｏｓ２θ)／２だから、

　＝２４π∫[0〜π/2]２(１＋ｃｏｓ２θ)ｄθ
　＝４８π[θ＋(１／２)ｓｉｎ２θ][0〜π/2]
　＝４８π[π／２＋(１／２)ｓｉｎπ−{０−(１／２)ｓｉｎ０}]
　＝４８π(π／２＋０−０)
　＝２４π²


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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