高校数学「積分」円をｘ軸を中心として回転した立体の体積

高校数学「積分」ｘ²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²をｘ軸のまわりに回転してできる回転体

■　問題

円ｘ²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²をｘ軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

円の外部を回転の中心とした回転体は、ドーナツ状の形になります。
ｘ軸を中心に回転するので、ｙについて解いてｘについて積分する。という方針です。

まず与式をｙについて解きます。

ｘ²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²
　　(ｙ−ｂ)²＝ｒ²−ｘ²
　　ｙ−ｂ＝±√(ｒ²−ｘ²)
　　　　ｙ＝ｂ±√(ｒ²−ｘ²)

プラスマイナスの２つの解が出ました。
プラスの方はｙ＝ｂより上側の半円、マイナスの方はｙ＝ｂより下側の半円を表します。
だから、この体積を求めるには、「上側の半円−下側の半円」を積分。ですね。
そして求める回転体は上下対称の形なので、半分の体積を求めて２倍すると良いです。

求める体積をＶとすると、

Ｖ＝２・π∫[0〜r]√[{ｂ＋√(ｒ²−ｘ²)}²−{ｂ−√(ｒ²−ｘ²)}²]ｄｘ
　＝２π∫[0〜r]{ｂ²＋２ｂ√(ｒ²−ｘ²)＋(ｒ²−ｘ²)−{ｂ²−２ｂ√(ｒ²−ｘ²)＋(ｒ²−ｘ²)}ｄｘ
　＝２π∫[0〜r]４ｂ√(ｒ²−ｘ²)ｄｘ
　＝８πｂ∫[0〜r]√(ｒ²−ｘ²)ｄｘ

ここで、ｘ＝ｒｓｉｎθとおくと、ｄｘ／ｄθ＝ｒｃｏｓθで、ｄｘ＝ｒｃｏｓθ・ｄθです。
そしてｘが０→ｒのときθは０→π／２だから、Ｖの式は次のように書き換えられます。

Ｖ＝８πｂ∫[0〜π/2]√{ｒ²−(ｒｓｉｎθ)²}・ｒｃｏｓθ・ｄθ

あとはこれを計算して、

　＝８πｂ∫[0〜π/2]√{ｒ²(１−ｓｉｎ²θ)}・ｒｃｏｓθ・ｄθ
　＝８πｂ∫[0〜π/2]ｒ√(ｃｏｓ²θ)・ｒｃｏｓθ・ｄθ
　＝８πｂｒ²∫[0〜π/2]√ｃｏｓ²θｄθ

半角の公式より、ｃｏｓ²θ＝(１＋ｃｏｓ２θ)／２だから、

　＝８πｂｒ²∫[0〜π/2]√{(１＋ｃｏｓ２θ)／２}ｄθ
　＝４πｂｒ²∫[0〜π/2]√(１＋ｃｏｓ２θ)ｄθ
　＝４πｂｒ²[θ＋(１／２)ｓｉｎ２θ][0〜π/2]
　＝４πｂｒ²[π／２＋(１／２)ｓｉｎπ−{０＋(１／２)ｓｉｎ０}]
　＝４πｂｒ²・π／２
　＝２π²ｂｒ²


類題→ｙ軸を中心に回転した円


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学３)まとめ


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