高校数学「積分」媒介変数で表された曲線の長さ

高校数学「積分」媒介変数で表された曲線の長さ

■　問題

次の曲線の長さＬを求めよ。ただし、ａ＞０，０≦θ≦２πとする。

{ｘ＝ａ(θ−ｓｉｎθ)
{ｙ＝ａ(１−ｃｏｓθ)


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

媒介変数で表された曲線の長さＬは、次の式で表されます。

Ｌ＝∫[a〜b]√{(ｄｘ／ｄｔ)²＋(ｄｙ／ｄｔ)²}ｄｔ

「ｘ座標とｙ座標それぞれの式を微分して２乗したものを足してルートして定積分」というイメージです。

今回の問題では、

{ｘ＝ａ(θ−ｓｉｎθ)
{ｙ＝ａ(１−ｃｏｓθ)

なので、まずはこれらをそれぞれ微分します。

ｄｘ／ｄθ＝ａ(１−ｃｏｓθ)
ｄｙ／ｄθ＝ａｓｉｎθ

ですね。
このままルートの中に入れると計算式を書くのが大変なので、ここではまず「２乗したものを足す」だけを先にやってみます。

　(ｄｘ／ｄθ)²＋(ｄｙ／ｄθ)²
＝{ａ(１−ｃｏｓθ)}²＋(ａｓｉｎθ)²
＝ａ²(１−２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ²θ)＋ａ²ｓｉｎ²θ
＝ａ²−２ａ²ｃｏｓθ＋ａ²ｃｏｓ²θ＋ａ²ｓｉｎ²θ
＝ａ²−２ａ²ｃｏｓθ＋ａ²
＝２ａ²−２ａ²ｃｏｓθ
＝２ａ²(１−ｃｏｓθ)

普通の計算ならこれで終わりでいいのですが、このあとこの式をルートするので、２乗が出てきた方が都合が良いです。
半角の公式より、ｓｉｎ²(θ／２)＝(１−ｃｏｓθ)／２だから、２ｓｉｎ²(θ／２)＝１−ｃｏｓθです。これを代入して、

＝２ａ²・２ｓｉｎ²(θ／２)
＝４ａ²ｓｉｎ²(θ／２)
＝{２ａｓｉｎ(θ／２)}²

これで２乗になったので、ルートをしたいところですが、その前にサインの値の範囲を確認します。
０≦θ≦２πだから、ｓｉｎ(θ／２)＞０なので、そのままルートをつけることができます。
つまり、

　√{(ｄｘ／ｄθ)²＋(ｄｙ／ｄθ)²}
＝√[{２ａｓｉｎ(θ／２)}²]
＝２ａｓｉｎ(θ／２)

よって、

Ｌ＝∫[0〜2π]２ａｓｉｎ(θ／２)ｄθ
　＝２ａ[−２ｃｏｓ(θ／２)][0〜2π]
　＝２ａ[{−２・(−１)}−(−２・１)]
　＝２ａ(２＋２)
　＝８ａ


◆関連項目
曲線の長さの求め方
微分積分(数学３)まとめ


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