高校数学「微分積分」速度と道のり�B

高校数学「微分積分」速度と道のり�B

■　問題

ｘ軸上を加速度２で運動する物体がある。時刻ｔ＝０における速度を−２，そのときの座標をｘ＝０とするとき、次の問いに答えよ。

(1) ｔ1秒後の速度ｖ(ｔ1)を求めよ。

(2) ｔ1秒後の位置ｘ(ｔ1)を求めよ。

(3) ｔ＝０からｔ＝４までに物体が移動した道のりｓを求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

一定の加速度で運動する物体の位置や道のりも、物理の公式を使って式を表すこともできますが、ここでは数学の微分積分の単元の問題として解いてみましょう。

加速度、速度、道のりは、微分積分の関係になっています。
「速度を積分すると道のり(位置)になる」ということができます。

時刻ｔ＝ａからｔ＝ｂの物体の運動について、速さをｖ，道のりをｓとすると、

ｓ＝∫[a〜b]|ｖ(ｔ)|ｄｔ

と表すことができます。

ｔ＝０からｔ＝４までの道のりならば、０から４で定積分ですね！

ｖ(ｔ1)＝２ｔ1−２だから、

ｓ＝∫[0〜4]|２ｔ1−２|ｄｔ

２ｔ1−２＝０を解くとｔ1＝１だから、０〜１の区間と１〜４の区間に分けます。

　＝−∫[0〜1](２ｔ1−２)ｄｔ＋∫[1〜4](２ｔ1−２)ｄｔ
　＝−[ｔ1²−２ｔ][0〜1]＋[ｔ1²−２ｔ][1〜4]
　＝−(１−２)＋(４²−２×４)−(１²−２)
　＝１＋(１６−８)−(１−２)
　＝１＋８＋１
　＝１０


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◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
物理…速度、速さ、加速度


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