◆問題
△ＯＡＢにおいて、→ＯＡ＝→ａ，→ＯＢ＝→ｂとし、ＯＢの中点をＤとする。
(1) →ＡＤを→ａ，→ｂで表せ。
(2) ＡＢを３：１に内分する点をＥとするとき、→ＯＥを→ａ，→ｂで表せ。
(3) ＡＤを６：１に内分する点をＦとするとき、→ＯＦを→ａ，→ｂで表せ。
この記事では(3)を解説します。
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◆解説
(2)と同様に「内分」とあるので、素直に内分の公式を使うとよいです。
ＡＢをｍ：ｎに内分する点をＰとすると、一般的には
→ＯＰ＝(ｎ・→ａ＋ｍ・→ｂ)／(ｍ＋ｎ)
ですね。
この問題では、→ａ＝→ＯＡ，→ｂ＝→ＯＤ，内分点はＦ，ｍ：ｎ＝６：１だから、
→ＯＦ＝(１・→ＯＡ＋６・→ＯＤ)／(６＋１)
ＤはＯＢの中点なので、→ＯＤ＝→ＯＢ／２＝→ｂ／２です。そしてもちろん→ＯＡ＝→ａですね。
これらを置き換えて、
＝(→ａ＋６・→ｂ／２)／７
＝(→ａ＋３・→ｂ)／７
次の問題→Ｏ，Ｅ，Ｆが一直線上にあることを示す
◆関連問題
線分ＡＢの内分・外分、長さ、△ＡＢＣと点Ｐに関する位置ベクトル
ベクトルまとめ
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