高校数学「積分」ｘ2・ｃｏｓｘｄｘの定積分

高校数学「積分」ｘ²・ｃｏｓｘｄｘの定積分

■　問題

∫[0〜π/2]ｘ²・ｃｏｓｘｄｘの定積分を求めよ。


関数の積の積分なので、部分積分法を使います。


不定積分の問題はこちら


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

不定積分の部分積分は、∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)−∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘです。
定積分の場合は、

∫[a〜b]ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝[ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)][a〜b]−∫[a〜b]ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘ

となります。
不定積分の部分積分に区間[a〜b]がついただけ。と考えられますね。


ｆ(ｘ)＝ｘ²，ｇ'(ｘ)＝ｃｏｓｘ，ａ＝０，ｂ＝π／２とすると、

　∫[0〜π/2]ｘ²・ｃｏｓｘｄｘ
＝[ｘ²・ｓｉｎｘ][0〜π/2]−∫[0〜π/2]２ｘ・ｓｉｎｘｄｘ

∫２ｘ・ｓｉｎｘｄｘにもう一度部分積分法を用いると、

＝[ｘ²・ｓｉｎｘ][0〜π/2]−{[２ｘ・(−ｃｏｓｘ)][0〜π/2]−∫[0〜π/2]２・(−ｃｏｓｘ)ｄｘ}

あとは普通に計算してなるべく簡単にします。

＝(π／２)²・ｓｉｎ(π／２)−２{−(π／２)・ｃｏｓ(π／２)＋∫[0〜π/2]ｃｏｓｘｄｘ}
＝(π／２)²−２[ｓｉｎｘ][0〜π/2]
＝(π／２)²−２ｓｉｎ(π／２)
＝π²／４−２


◆関連項目
不定積分の場合
微分積分(数学３)まとめ


江間淳の書籍はこちら
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