■ 問題
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ x^2 ・ \cos x \, dx \)の定積分を求めよ。
関数の積の積分なので、部分積分法を使います。
不定積分の問題はこちら
解答解説はこのページ下です。
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■ 解答解説
不定積分の部分積分は、∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)－∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘです。
定積分の場合は、
\( \int_{a}^{b} \ f(x) ・ g'(x) \, dx \) ＝ \( \left[ f(x) ・ g(x) \right]_{a}^{b} \) － \( \int_{a}^{b} \ f'(x) ・ g(x) \, dx \)
となります。
不定積分の部分積分に区間[a～b]がついただけ。と考えられますね。
ｆ(ｘ)＝ｘ2，ｇ'(ｘ)＝ｃｏｓｘ，ａ＝０，ｂ＝π／２とすると、
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ x^2 ・ \cos x \, dx \)
＝\( \left[ x^2 ・ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \) － \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ 2x ・ \sin x \, dx \)
∫２ｘ・ｓｉｎｘｄｘにもう一度部分積分法を用いると、
＝\( \left[ x^2 ・ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \) － { \( \left[2x ・ ( \ -cos x ) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \) － \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ 2 ・( \ -cos x ) \, dx \) }
あとは普通に計算してなるべく簡単にします。
＝\( ( \frac{\pi}{2} )^2 \cdot \sin \frac{\pi}{2} \) －2{ \( -\frac{\pi}{2} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \) }
＝\( ( \frac{\pi}{2} )^2 -2 \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
＝\( ( \frac{\pi}{2} )^2 -2 \sin \frac{\pi}{2} \)
＝\( \frac{\pi ^2}{4} -2 \)
◆関連項目
不定積分の場合
微分積分(数学３)まとめ
江間淳の書籍はこちら
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ラベル：数学
