高校物理「波動」「光波」ニュートンリング�@

高校物理「波動」「光波」ニュートンリング�@

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Ｒの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をＯ，平凸レンズと平面ガラスとの接点をＣ，Ｃからｒだけ離れた点をＢ，Ｂの真上の平凸レンズの球面上の点をＡとして、次の問いに答えよ。

(1) ＡＢ間の距離がｄであったとする。ｄをＲ，ｒで表せ。ただし、Ｒ≫ｄとする。


解答解説はこのページ下
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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◆解説

平凸レンズは、球を平面でカットした形をしています。
だからこの手のニュートンリングの問題の場合、元の球を復元して、平面の上に球が載っている形に描き直して、数学の図形の問題として考えるとよいと思います。
物理では、三平方の定理や三角比・三角関数が使えることが多いです。

ＡからＯＣに垂線を引き、ＯＣとの交点をＤとすると、直角三角形ＯＡＤができます。
直角三角形なので三平方の定理が使えます。

ＯＡ²＝ＯＤ²＋ＡＤ²

ですね。
球の半径はＲなので、ＯＣ＝ＯＡ＝Ｒです。
そして、ＡＤ＝ＣＢ＝ｒ，ＯＤ＝ＯＣ−ＣＤ＝Ｒ−ｄ
これらを代入します。

Ｒ²＝(Ｒ−ｄ)²＋ｒ²

問題によっては普通に計算しますが、Ｒ≫ｄとあるので、計算を簡単にする近似を利用する方向で考えます。
αが１より充分に小さいとき、(１＋α)²≒１＋２αと近似することができます。
この形を利用するため、カッコの２乗の中身を(１＋α)の形に直します。

両辺をＲ²で割ると、

Ｒ²／R²＝(Ｒ−ｄ)²／Ｒ²＋ｒ²／Ｒ²
１＝{(Ｒ−ｄ)／Ｒ}²＋(ｒ／Ｒ)²
１＝(１−ｄ／Ｒ)²＋(ｒ／Ｒ)²

これでカッコの中身が(１＋α)の形になりました。
(１＋α)²≒１＋２αの近似を用いると、(１−ｄ／Ｒ)²＝１−２ｄ／Ｒ
つまり、

１＝１−２ｄ／Ｒ＋(ｒ／Ｒ)²

あとはこれをｄについて解くと、

２ｄ／Ｒ＝(ｒ／Ｒ)²
　　２ｄ＝ｒ²／Ｒ
　　　ｄ＝ｒ²／２Ｒ


次の問題→反射光が強め合う条件


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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