2022年12月16日

本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学2B第1問[1]

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学2B第1問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数2Bより

第1問

[1] 座標平面上に点A(−8,0)をとる。また、不等式

  x^2+y^2−4x−10y+4≦0

の表す領域をDとする。


(1) 領域Dは、中心が点([ア],[イ]),半径が[ウ]の円の[エ]である。

[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
|{0} 周  {1} 内部  {2} 外部   |
|{3} 周および内部  {4} 周および外部|
└――――――――――――――――――┘

 以下、点([ア],[イ])をQとし、方程式

  x^2+y^2−4x−10y+4=0

の表す図形をCとする。

(2) 点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1)により、直線y=[オ]は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。

 太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
 点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。

┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:直線lの方程式はy=k(x+8)と表すことができるから、|
|   これを                        |
|     x^2+y^2−4x−10y+4=0         |
|   に代入することで接線を求められそうだね。       |
|花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに注目することでも|
|   求められそうだよ。                  |
└――――――――――――――――――――――――――――――┘

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
 y=k(x+8)をx^2+y^2−4x−10y+4=0に代入すると、xについて
の2次方程式
 (k^2+1)x^2+(16k^2−10k−4)x+64k^2−80k+4=0
が得られる。この方程式が[カ]のときのkの値が接線の傾きとなる。

[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
|{0} 重解をもつ               |
|{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは0である|
|{2} 異なる二つの正の実数解をもつ      |
|{3} 正の実数解と負の実数解をもつ      |
|{4} 異なる二つの負の実数解をもつ      |
|{5} 異なる二つの虚数解をもつ        |
└――――――――――――――――――――――┘

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
 x軸と直線AQのなす角θ(0<θ≦π/2)とすると

  tanθ=[キ]/[ク]

であり、直線y=[オ]と異なる接線の傾きはtan[ケ]と表すことができる。

[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} θ  {1} 2θ  {2} (θ+π/2)     |
|{3} (θ−π/2)  {4} (θ+π)  {5} (θ−π)|
|{6} (2θ−π/2)  {7} (2θ−π/2)    |
└――――――――――――――――――――――――┘

(iv) 点Aを通るCの接線のうち、直線y=[オ]と異なる接線の傾きをk0とする。
このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより

  k0=[コ]/[サ]

であることがわかる。
 直線lと領域Dが共有点を持つようなkの値の範囲は[シ]である。

[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
|{0} k>k0  {1} k≧k0     |
|{2} k<k0  {3} k≦k0     |
|{4} 0<k<k0  {5} 0≦k≦k0 |
└――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 円の方程式と領域の基本
 ◆2 円の中心と半径なら平方完成
 ◆3 中心(2,5),半径5だからx軸に接する

(以下略)

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■ 解説


◆1は省略します。


 ◆2 円の中心と半径なら平方完成

では今回の問題です。

x^2+y^2−4x−10y+4≦0

これを領域Dとして、まずは円の中心と半径を求めます。

◆1でも触れたように、円は(x−a)^2+(y−b)^2=r^2の形になります。
この形になるように、与式を変形していきましょう!
カッコの2乗だから平方完成ですね。

            x^2+y^2−4x−10y+4≦0
          (x^2−4x)+(y^2−10y)+4≦0
(x^2−4x+4−4)+(y^2−10y+25−25)+4≦0
        (x−2)^2−4+(y−5)^2−25+4≦0
               (x−2)^2+(y−5)^2≦25

これで中心と半径がわかる形になりました。
中心(2,5),半径5ですね。

不等号の向きから、領域Dは境界線とその内部であることがわかります。

よって、[ア]=2,[イ]=5,[ウ]=5,[エ]=3


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 ◆3 中心(2,5),半径5だからx軸に接する

続いて(i)です。
まずは点Aを通る接線のうち、「y=定数」の形で表されるものを求めます。

◆2で求めたように、円の式は(x−2)^2+(y−5)^2=25で中心(2,5),
半径5です。

中心のy座標は5で、半径は5なので、この円はx軸に接しています。

つまり・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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