◆問題
座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(－４，０)，点Ｃ(０，３)がある。原点Ｏを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。
面積を２等分する直線は、三角形の頂点を通らない場合はちょっと大変ですが、県立高校入試でも、この程度の難易度までは出る可能性があります。
基本的な方法の習得におすすめの問題集です。
◆解答・解説
頂点を通る場合は、対辺の中点を通ればいいのでわかりやすかったと思います。
頂点を通らない場合は、面積そのものを使うのが標準的です。
もとの三角形の面積を求め、その半分を出します。
もとの三角形は、三角形と四角形に分けられるので、出しやすい方を利用して、通る点を求めて、直線の式を求める。という流れです。
この流れでやっていきましょう！
まずは△ＡＢＣを求めます。
底辺をＡＢとすると、頂点はＣです。
ＡＢ＝２－(－４)＝６
底辺はｘ軸上だから、高さはＣのｙ座標と同じです。つまり、高さ＝３です。
よって、△ＡＢＣ＝(１／２)×６×３＝９
半分に分けられた図形の面積は、もちろん９／２です。
Ｏを通る直線で、△ＡＢＣは三角形と四角形に分けられます。
三角形の方は、底辺が４の三角形ですね。底辺が４で面積が９／２だから、高さをｈとすれば、
(１／２)×４×ｈ＝９／２
２ｈ＝９／２
ｈ＝９／４
つまり、頂点のｙ座標が９／４になればＯＫというわけです。
頂点はＢＣ上なので、直線ＢＣの式を求めて、ｙ＝９／４を代入する。という方針です。
Ｃ(０，３)だから切片が３です。ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｂ＝３とＢ(－４，０)を代入すると、
０＝－４ａ＋３
４ａ＝３
ａ＝３／４
よって、直線ＢＣはｙ＝(３／４)ｘ＋３
これにｙ＝９／４を代入すると、
９／４＝(３／４)ｘ＋３
９＝３ｘ＋１２
－３ｘ＝１２－９
－３ｘ＝３
ｘ＝－１
つまり、求める直線は(－１，３／４)を通ることがわかりました。さらに原点を通るので、比例の式ｙ＝ａｘにこの座標を代入すると、
３／４＝－ａ
ａ＝－３／４
よって、求める直線の式は、ｙ＝(－３／４)ｘ
◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線(頂点を通る場合)、平行四辺形の場合
１次関数まとめ
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