不定方程式の基本的な解き方(一般解の求め方)は、
何らかの方法で特殊解を求める。
→元の方程式と特殊解の差を用いて一般解を求める。
という流れになります。
この「何らかの方法で特殊解を求める」手段の一つが「ユークリッドの互除法」ですね。
「５ｘ－３ｙ＝１」のように係数が小さい場合は、
・適当な値を代入して探す。
・ｘまたはｙについて解いて、整数解を探す。
という方法でも、問題なく特殊解を求めることができます。
この場合特殊解は例えば、ｘ＝２，ｙ＝３がありますね。
この解を代入すると、「５×２－３×３＝１」となり、もとの式との差は、
５ｘ－３ｙ ＝１
－）５×２－３×３＝１
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５(ｘ－２)－３(ｙ－３)＝０
５(ｘ－２)＝３(ｙ－３)
この等式が成り立つためには、ｘ－２は３の倍数で、ｙ－３は５の倍数である必要があります。
これを整数ｋを使って表すと、
ｘ－２＝３ｋ，ｙ－３＝５ｋ
だから、ｘ＝３ｋ＋２，ｙ＝５ｋ＋３
整数の性質・不定方程式まとめ
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ラベル：数学
