◆問題
次の楕円の焦点、２焦点からの距離の和、および長軸と短軸の長さをそれぞれ求めよ。
ｘ2／２５＋ｙ2／１６＝１
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◆解答・解説
楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(－ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，－ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。
ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝１
今回の問題の式は、ｘ2／２５＋ｙ2／１６＝１なので、
ａ2＝２５，ｂ2＝１６だから、
ａ＝５，ｂ＝４
２焦点からの距離の和は２ａだから、２ａ＝２×５＝１０となります。
さらに、ａ＞ｂなので、長軸の長さは２ａ＝１０，短軸の長さは２ｂ＝８です。
焦点はｃ＝√(ａ2－ｂ2)なので、
ｃ＝√(２５－１６)
＝√９
＝３
よって、焦点の座標は(±３，０)です。
素早く解くには、公式として上記の内容を覚えている必要がありますが、混乱した場合は、楕円は２つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡であることを思い出して、図を描いて一つ一つ距離を表してみると公式が導けるはずです。
特に、普段の勉強では、多少時間がかかったとしても、一度やってみると理解が深まります！
◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ
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ラベル：数学
