高校数学「平面上の曲線」楕円の方程式を求める�@

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◆問題
２点Ｆ(３，０)，Ｆ'(−３，０)からの距離の和が１０の楕円の方程式を求めよ。


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◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題では、２定点(焦点)Ｆ，Ｆ'からの距離の和が１０だから、

２ａ＝１０より、ａ＝５がわかります。

さらに、焦点の座標ｃとａ，ｂの関係から、ｃ²＝ａ²−ｂ²に、ａ＝５，ｃ＝３を代入すると、

３²＝５²−ｂ²
９＝２５−ｂ²
ｂ²＝１６＝４²

これでｂ＝４がわかりました。ａ，ｂがそろったので、楕円の方程式に代入すると、

ｘ²／２５＋ｙ²１６＝１



◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


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