高校数学「数と式」(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)の展開

高校数学「数と式」(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)の展開

◆問題

(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)を展開せよ。


ちょっと工夫して計算すると、計算が楽になります。


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◆解答解説

このように、カッコがいくつもある場合は組み合わせ方を工夫すると、楽に計算できる場合があります。
どのように組み合わせるかというと、

「同じ部分ができるようにする」

という方針です。

例えばそのままの順番で、まず(ｘ＋１)(ｘ＋２)の部分と(ｘ＋３)(ｘ＋４)の部分を展開すると、

(与式)＝(ｘ²＋３ｘ＋２)(ｘ²＋７ｘ＋１２)

となり、特に何事もなくそのまま万遍なく掛けていき、９つの項がでてきて同類項をまとめる。という手順になります。
これでももちろん正しい式を求めることができますが、まあまあ面倒です。
そこで、「同じ部分ができるようにする」と、

(与式)＝{(ｘ＋１)(ｘ＋４)}{(ｘ＋２)(ｘ＋３)}

この組み合わせにします。これをそれぞれ展開すれば、

　　＝(ｘ²＋５ｘ＋４)(ｘ²＋５ｘ＋６)

こうなって、「ｘ²＋５ｘ」という共通の部分ができました。
ｘ²＋５ｘ＝Ａとすると、

　　＝(Ａ＋４)(Ａ＋６)
　　＝Ａ²＋１０Ａ＋２４

あとはＡを元に戻して、

　　＝(ｘ²＋５ｘ)²＋１０(ｘ²＋５ｘ)＋２４
　　＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋２５ｘ²＋１０ｘ²＋５０ｘ＋２４
　　＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２４

これで完成です！
この手順でやっても、もちろん楽ではありませんが、何も工夫せずやるよりはミスを防ぎやすくなるはずです。


数と式まとめ


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