高校数学「数と式」ｘ4＋４の因数分解

高校数学「数と式」ｘ⁴＋４の因数分解

◆問題

ｘ⁴＋４を因数分解せよ。


数学１としては発展的な内容になりますが、工夫次第で充分解けると思います！


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◆解答解説

「ｘの４乗だから、２乗の２乗にわけちゃえば簡単！・・・と思ったら、アレ？うまくいかない！？」

このように思った人、いると思います。

ａ²−ｂ²＝(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)

の形で因数分解できそうに見えますが、今回の問題では、間の符号がプラスなので、(このままでは)この公式は使えませんね。

いろいろ試行錯誤してみると・・・

(ｘ²＋２)²＝ｘ⁴＋４ｘ²＋４

これを活用すれば良いのではないか？
と推測できるはず！・・・かも知れません(笑)
まあ、これを使えばできるので、これを使う。ということです。

　ｘ⁴＋４
＝ｘ⁴＋４ｘ²＋４−４ｘ²

だから、

＝(ｘ²＋２)²−４ｘ²

このように変形できます。

ｘ²＋２＝Ａとおけば、

＝Ａ²−４ｘ²
＝(Ａ＋２ｘ)(Ａ−２ｘ)

Ａをもとに戻せば、

＝(ｘ²＋２＋２ｘ)(ｘ²＋２−２ｘ)

これで終わりでも問題はありませんが、それぞれのカッコの中を次数の高い順に並べるとキレイです。

＝(ｘ²＋２ｘ＋２)(ｘ²−２ｘ＋２)


数と式まとめ


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