高校数学「平面上の曲線」双曲線の方程式�A

高校数学「平面上の曲線」双曲線の方程式�A

◆問題

焦点が(±４，０)，漸近線がｙ＝±ｘの双曲線の方程式を求めよ。


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◆解答・解説

双曲線の方程式は、以下の形で表されます。

ｘ²／ａ²−ｙ²／ｂ²＝１　(ａ＞０，ｂ＞０)

そして、焦点(±ｃ，０)とａ，ｂの間には、ｃ²＝ａ²＋ｂ²の関係があり、２焦点からの距離の差は２ａとなります。

さらに、漸近線は、ｙ＝±(ｂ／ａ)ｘとなります。


今回の問題では、漸近線がｙ＝±ｘだから、ｂ／ａ＝１がわかります。

また、焦点から、ａ²＋ｂ²＝４²＝１６もわかります。

ａ，ｂについての式が２つできたので、これらの連立方程式を解けばＯＫ！というわけです。

ｂ／ａ＝１よりｂ＝ａなので、ａ²＋ｂ²＝１６に代入すると、

ａ²＋ａ²＝１６
　　２ａ²＝１６
　　　ａ²＝８

ａ＝ｂなので、ａ²＝ｂ²＝８

よって、求める方程式は、

ｘ²／８−ｙ²／８＝１


◆関連項目
双曲線
平面上の曲線まとめ


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