◆問題
漸近線がｙ＝±(１／２)ｘで、(４，１)を通る双曲線の式を求めよ。
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◆解答・解説
双曲線の方程式は、以下の形で表されます。
ｘ2／ａ2－ｙ2／ｂ2＝１ (ａ＞０，ｂ＞０)
そして、焦点(±ｃ，０)とａ，ｂの間には、ｃ2＝ａ2＋ｂ2の関係があり、２焦点からの距離の差は２ａとなります。
さらに、漸近線は、ｙ＝±(ｂ／ａ)ｘとなります。
今回の問題では、漸近線がｙ＝±(１／２)ｘだから、ｂ／ａ＝(１／２)がわかります。
変形すると、ａ＝２ｂですね。
この他にわかっている情報は「通る点の座標」なので、いったんこの時点で、双曲線の方程式ｘ2／ａ2－ｙ2／ｂ2＝１に、ａ＝２ｂを代入してみます。
ｘ2／４ｂ2－ｙ2／ｂ2＝１
文字が一つ減りました。
これに通る点の座標を代入すれば、残る文字はｂだけになりますね！
１６／４ｂ2－１／ｂ2＝１
４／ｂ2－１／ｂ2＝１
３／ｂ2＝１
ｂ2＝３
ａ＝２ｂつまり、ｂ＝ａ／２だから、
(ａ／２)2＝３
ａ2／４＝３
ａ2＝１２
よって、求める方程式は、
ｘ2／１２－ｙ2／３＝１
◆関連項目
双曲線
平面上の曲線まとめ
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