高校数学「平面上の曲線」楕円と直線が異なる２点で交わるとき

高校数学「平面上の曲線」楕円と直線が異なる２点で交わるとき

◆問題

楕円ｘ²／４＋ｙ²／３＝１と直線ｙ＝ｘ＋ｋが異なる２点で交わるように、ｋの値の範囲を定めよ。


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◆解答・解説

楕円と直線でも、交点や共有点を考えるときは、連立方程式と考えてＯＫです。
交点は両方のグラフで成り立つ点だから、交点の座標は連立方程式の解になります。
つまり、直線の式を楕円の式に代入することができます。

楕円ｘ²／４＋ｙ²／３＝１と直線ｙ＝ｘ＋ｋだから、

ｘ²／４＋(ｘ＋ｋ)²／３＝１

まずは式をなるべくシンプルな形にします。

３ｘ²＋４(ｘ＋ｋ)²＝１２
３ｘ²＋４(ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²)＝１２
３ｘ²＋４ｘ²＋８ｋｘ＋４ｋ²＝１２
７ｘ²＋８ｋｘ＋４ｋ²−１２＝０

ｘについての２次方程式になったので、解の判別式Ｄ＝ｂ²−４ａｃに代入します。

Ｄ＝(８ｋ)²−４×７×(４ｋ²−１２)
　＝６４ｋ²−１１２ｋ²＋２８×１２＞０　←異なる２点で交わるだからＤ＞０
　　−４８ｋ²＋２８×１２＞０
　　−４ｋ²＋２８＞０
　　　　ｋ²−７＜０
(ｋ＋√７)(ｋ−√７)＜０

よって、求めるｋの値の範囲は、−√７＜ｋ＜√７


◆関連項目
楕円
平面上の曲線まとめ
判別式


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