2023年04月11日

本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学2B第4問 方針2まで

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学2B第4問の方針2までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2023年共通テスト数2Bより

第4問

 花子さんは、毎年の始めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を
始める前における花子さんの預金は10万円である。こごて、預金とは預金口座に
あるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金が
x万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初め
には1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。

 毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、
p>0とし、nは自然数とする。

 例えば、a1=10+p,a2=1.01(10+p)+pである。


http://www.a-ema.com/img/center2023math2b4a.png

参考図


(1) anを求めるために二つの方針で考える。


┌[方針1]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| n年目の初めの預金と(n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

3年目の初めの預金a3万円について、a3=[ア]である。すべての自然数nについて

  an+1=[イ]an+[ウ]

が成り立つ。これは

  an+1+[エ]=[オ](an+[エ])

と変形でき、anを求めることができる。

[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 1.01{1.01(10+p)+p}                  |
|{1} 1.01{1.01(10+p)+1.01p}              |
|{2} 1.01{1.01(10+p)+p}+p                |
|{3} 1.01{1.01(10+p)+p}+1.01p            |
|{4} 1.01(10+p)+]1.01p                  |
|{5} 1.01(10+1.01p)+1.01p               |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[イ]〜[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 1.01  {1} 1.01^(n-1)  {2} 1.01^n          |
|{3} p    {4} 100p    {5} np               |
|100np  {7} 1.01^(n-1)×100p  {8} 1.01^n×100p |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


┌[方針2]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| もともと預金口座にあった10万円と毎年の始めに入金したp万円について、|
|n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。        |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10×1.01万円に
なり、3年目の初めには10×1.01^2万円になる。同様に考えるとn年目の初め
には10×1.01^(n-1)万円になる。

・1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×1.01^[カ]万円になる。
・2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×1.01^[キ]万円になる。
      ・
      ・
      ・
・n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。

 これより

  an=10×1.01^(n-1)+p×1.01^[カ]+p×1.01^[キ]+…+p
    =10×1.01^(n-1)+p・Σ[k=1〜n]1.01^[ク]

となることがわかる。ここで、Σ[k=1〜n]1.01^[ク]=[ケ]となるので、anを
求めることができる。

[カ],[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} n+1  {1} n  {2} n−1  {3} n−2            |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ク]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} k+1  {1} k  {2} k−1  {3} k−2            |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 100×1.01^n      {1} 100(1.01^n−1)      |
|{2} 100{1.01^(n-1)−1}  {3} n+1.01^(n-1)−1      |
|{4} 0.01(101n−1)    {5} {n×1.01^(n-1)}/2     |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


つづく


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

         ↓↓数列の解説記事はこちら↓↓
     http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html

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■ 解説目次

 ◆1 2023年の数列は金利の問題
 ◆2 1%増えるから1.01をかける

(以下略)

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■ 解説


 ◆1 2023年の数列は金利の問題

2023年も数学2B第4問に、数列についての問題が配置されました。
預金と金利についての話題なので、数列の問題としては比較的ノーマルなものです。
数学Bのいくつかの教科書には、似た問題が掲載されていると思います。

何はともあれ、まずは問題の内容をしっかり読み取って、一つ一つ表していきま
しょう!


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 ◆2 1%増えるから1.01をかける

では今回の問題です。

・花子さんは毎年一定額の入金をする
・最初の預金額は10万円である
・利息は1%

要点は以上です。
そして「毎年初めの入金額をp万円」「n年目の初めの預金をan万円」とします。

だから、「a1=10+p,a2=1.01(10+p)+p」となりますね。

そして最初の設問は、3年目の初めの預金、a3の値を求めます。

a2=1.01(10+p)+pだから、これに1%分の金利を加えて、pも加えた
ものがa3です。ということは、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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