【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数2Bより
第4問
花子さんは、毎年の始めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を
始める前における花子さんの預金は10万円である。こごて、預金とは預金口座に
あるお金の額のことである。預金には年利1%で利息がつき、ある年の初めの預金が
x万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初め
には1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、
p>0とし、nは自然数とする。
例えば、a1=10+p,a2=1.01(10+p)+pである。
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参考図
(1) anを求めるために二つの方針で考える。
┌[方針1]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| n年目の初めの預金と(n+1)年目の初めの預金との関係に着目して考える。|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
3年目の初めの預金a3万円について、a3=[ア]である。すべての自然数nについて
an+1=[イ]an+[ウ]
が成り立つ。これは
an+1+[エ]=[オ](an+[エ])
と変形でき、anを求めることができる。
[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 1.01{1.01(10+p)+p} |
|{1} 1.01{1.01(10+p)+1.01p} |
|{2} 1.01{1.01(10+p)+p}+p |
|{3} 1.01{1.01(10+p)+p}+1.01p |
|{4} 1.01(10+p)+]1.01p |
|{5} 1.01(10+1.01p)+1.01p |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[イ]〜[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 1.01 {1} 1.01^(n-1) {2} 1.01^n |
|{3} p {4} 100p {5} np |
|100np {7} 1.01^(n-1)×100p {8} 1.01^n×100p |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
┌[方針2]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| もともと預金口座にあった10万円と毎年の始めに入金したp万円について、|
|n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10×1.01万円に
なり、3年目の初めには10×1.01^2万円になる。同様に考えるとn年目の初め
には10×1.01^(n-1)万円になる。
・1年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×1.01^[カ]万円になる。
・2年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp×1.01^[キ]万円になる。
・
・
・
・n年目の初めに入金したp万円は、n年目の初めにはp万円のままである。
これより
an=10×1.01^(n-1)+p×1.01^[カ]+p×1.01^[キ]+…+p
=10×1.01^(n-1)+p・Σ[k=1〜n]1.01^[ク]
となることがわかる。ここで、Σ[k=1〜n]1.01^[ク]=[ケ]となるので、anを
求めることができる。
[カ],[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} n+1 {1} n {2} n−1 {3} n−2 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ク]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} k+1 {1} k {2} k−1 {3} k−2 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 100×1.01^n {1} 100(1.01^n−1) |
|{2} 100{1.01^(n-1)−1} {3} n+1.01^(n-1)−1 |
|{4} 0.01(101n−1) {5} {n×1.01^(n-1)}/2 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
↓↓数列の解説記事はこちら↓↓
http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html
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■ 解説目次
◆1 2023年の数列は金利の問題
◆2 1%増えるから1.01をかける
(以下略)
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■ 解説
◆1 2023年の数列は金利の問題
2023年も数学2B第4問に、数列についての問題が配置されました。
預金と金利についての話題なので、数列の問題としては比較的ノーマルなものです。
数学Bのいくつかの教科書には、似た問題が掲載されていると思います。
何はともあれ、まずは問題の内容をしっかり読み取って、一つ一つ表していきま
しょう!
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◆2 1%増えるから1.01をかける
では今回の問題です。
・花子さんは毎年一定額の入金をする
・最初の預金額は10万円である
・利息は1%
要点は以上です。
そして「毎年初めの入金額をp万円」「n年目の初めの預金をan万円」とします。
だから、「a1=10+p,a2=1.01(10+p)+p」となりますね。
そして最初の設問は、3年目の初めの預金、a3の値を求めます。
a2=1.01(10+p)+pだから、これに1%分の金利を加えて、pも加えた
ものがa3です。ということは、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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ラベル:数学