◆問題
楕円ｘ2／５＋ｙ2／４＝１と直線ｙ＝ｘ＋ｋが異なる２点Ｐ，Ｑで交わるとき、線分ＰＱの中点Ｒの軌跡を求めよ。
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◆解答・解説
Ｐ，Ｑは交点なので、まずは直線の式を楕円の式に代入します。
ｘ2／５＋ｙ2／４＝１にｙ＝ｘ＋ｋを代入して、
ｘ2／５＋(ｘ＋ｋ)2／４＝１
４ｘ2＋５(ｘ＋ｋ)2＝２０
４ｘ2＋５ｘ2＋１０ｋｘ＋５ｋ2＝２０
９ｘ2＋１０ｋｘ＋５ｋ2−２０＝０
そもそも、楕円と直線が共有点をもたないと始まらないので、その条件を調べてみます。
判別式Ｄ＝ｂ2−４ａｃに代入すると、
(１０ｋ)2−４×９×(５ｋ2−２０)
＝１００ｋ2−１８０ｋ2＋７２０
＝−８０ｋ2＋７２０＞０
ｋ2−９＜０
(ｋ＋３)(ｋ−３)＜０
よって、−３＜ｋ＜３
まずは、楕円と直線が交わるときのｋの値の範囲は−３＜ｋ＜３であることがわかりました。
続いて、「中点」という情報から、式を立てていきます。
Ｐ，Ｑの座標、中点Ｒの座標がわかっていないので、それぞれ文字でおきます。
Ｐ，Ｑのｘ座標をそれぞれｘp，ｘq，Ｒの座標を(ｓ，ｔ)とすると、
ｓ＝(ｘp＋ｘq)／２，ｔ＝ｓ＋ｋ
とおくことができますね。
Ｐ，Ｑは楕円と直線の交点で、ＲはＰＱの中点だから、Ｒはｙ＝ｘ＋ｋ上にあります。
そして、先ほどの９ｘ2＋１０ｋｘ＋５ｋ2−２０＝０の解が、ｘp，ｘqとなります。
つまり、この２次方程式を解けば、ｘp，ｘqとｋの関係式ができるので、さあ解きましょう！
・・・でも良いのですが、計算が大変ですし、ｓ＝(ｘp＋ｘq)／２という形でもあるので、２次方程式の解と係数の関係を使ってみましょう！
解と係数の関係より、ｘp＋ｘq＝−１０ｋ／９だから、
ｓ＝(−１０ｋ／９)／２
＝−５ｋ／９
これをｔ＝ｓ＋ｋに代入すると、
ｔ＝−５ｋ／９＋ｋ
＝４ｋ／９
ここで、ｋを消去するためにｓ＝−５ｋ／９をｋについて解きます。
９ｓ＝−５ｋ
ｋ＝−(９／５)ｓ
ｔ＝ｓ＋ｋに代入すれば、
ｔ＝ｓ−(９／５)ｓ
＝−(４／５)ｓ
つまり、求める軌跡の方程式は、ｙ＝−(４／５)ｘとなります。
なおこの直線は座標平面全体ではなく、−３＜ｋ＜３だから、−３＜−(９／５)ｘ＜３であり、−(５／３)＜ｘ＜５／３の部分です。
◆関連項目
楕円
平面上の曲線まとめ
判別式
軌跡の問題の立式の仕方
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