高校数学「平面上の曲線」楕円の接線�A

高校数学「平面上の曲線」楕円の接線�A

◆問題

楕円ｘ²／２＋ｙ²／８＝１の接線うち、傾きが１のものの方程式を求めよ。


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◆解答・解説

このような場合も、普通の円のときと同じ方法で接線の方程式を求めることができます。

傾きが１の直線は、ｙ＝ｘ＋ｂと表すことができます。
これと楕円が接するということは、代入してできた２次式の判別式の値がゼロになる。と考えられます。

直線の式を楕円の式に代入すると、

ｘ²／２＋(ｘ＋ｂ)²／８＝１
４ｘ²＋ｘ²＋２ｂｘ＋ｂ²＝８　　←両辺を８倍した
５ｘ²＋２ｂｘ＋ｂ²−８＝０

この２次方程式の判別式の値がゼロになればＯＫですね！

Ｄ＝(２ｂ)²−４・５・(ｂ²−８)
　＝４ｂ²−２０ｂ²＋１６０
　＝−１６ｂ²＋１６０

この判別式の値がゼロなので、

−１６ｂ²＋１６０＝０
　　　ｂ²−１０＝０
　　　　　　ｂ²＝１０

∴ｂ＝±√１０

ということで、求める直線の式は、ｙ＝ｘ±√１０


◆関連項目
楕円
平面上の曲線まとめ


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