◆問題
双曲線ｘ2－５ｙ2＝５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋとの共有点の個数を調べよ。
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◆解答・解説
双曲線と直線の共有点も、２次関数と直線の場合と同様に、合成して判別式で共有点の個数を調べることができます。
まずは、直線の式を双曲線の式に代入します。
ｘ2－５(２ｘ＋ｋ)2＝５
ｘ2－５(４ｘ2＋４ｋｘ＋ｋ2)＝５
ｘ2－２０ｘ2－２０ｋｘ－５ｋ2＝５
－１９ｘ2－２０ｋｘ－５ｋ2－５＝０
１９ｘ2＋２０ｋｘ＋５ｋ2＋５＝０
ｘについての２次方程式になったので、判別式に代入します。
この場合はｘの係数が偶数なので、Ｄ／４に代入すると、少し計算が楽ですね。
もちろんＤでも構いませんが、ここではＤ／４で書いていきます。
Ｄ／４＝(１０ｋ)2－１９×(５ｋ2＋５)
＝１００ｋ2－９５ｋ2－９５
＝５ｋ2－９５
判別式の使い方も、普通の２次関数のときと同じです。
つまり、Ｄ＞０なら共有点２個、Ｄ＝０なら１個、Ｄ＜０ならなし。ですね。
５ｋ2－９５＞０
ｋ2－１９＞０
(ｋ＋√１９)(ｋ－√１９)＞０
よって、ｋ＜－√１９，ｋ＞√１９のとき、共有点２個。
あとはこの値を利用して、Ｋ＝±√１９のとき、共有点１個。
－√１９＜ｋ＜√１９のとき共有点なし。
というわけで、双曲線と直線の共有点の個数を調べることができました！
◆関連項目
双曲線
平面上の曲線まとめ
判別式
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