高校数学「対数関数」対数不等式ｌｏｇ[3](ｘ−４)＋ｌｏｇ[3](ｘ−２)＜１

高校数学「対数関数」対数不等式ｌｏｇ[3](ｘ−４)＋ｌｏｇ[3](ｘ−２)＜１


◆問題

対数不等式ｌｏｇ[3](ｘ−４)＋ｌｏｇ[3](ｘ−２)＜１を解け。


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◆解答・解説

前回の問題より少し難しいですが、基本的な方針は同じです。
とにかく「できるだけ式をシンプルにする」ことを目指します。

ｌｏｇ[3](ｘ−４)＋ｌｏｇ[3](ｘ−２)＜１

この状態では、左辺にｌｏｇが２つあるので、比べにくいです。
だから、ひとつにまとめることを考えます。
そこで、

★　ｌｏｇ[a]ｂ＋ｌｏｇ[a]ｃ＝ｌｏｇ[a]ｂｃ

この公式を使います。
つまり「対数の足し算は真数のかけ算」ですね。

(左辺)＝ｌｏｇ[3]{(ｘ−４)(ｘ−２)}
　　＝ｌｏｇ[3](ｘ²−６ｘ＋８)

右辺の１も底が３の対数で表しておくと、比べやすいです。
つまり、

ｌｏｇ[3](ｘ²−６ｘ＋８)＜ｌｏｇ[3]３

このようになります。底が３で１より大きいので、対数の大小関係と真数の大小関係は一致します。
だから、

ｘ²−６ｘ＋８＜３
ｘ²−６ｘ＋５＜０
(ｘ−１)(ｘ−５)＜０
よって、１＜ｘ＜５

あとは「真数条件」を考えます。

ｘ−４＞０，ｘ−２＞０だから、ｘ＞４です。
つまりこの不等式はｘ＞４の範囲で成り立つ。ということができます。
先ほどの解の１＜ｘ＜５との共通範囲が、この問題の解です。

よって求めるｘの範囲は、４＜ｘ＜５


◆関連項目
指数・対数まとめ
２次不等式３ｘ−２ｘ²＜６


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