2023年04月27日

高校数学「対数関数」対数不等式(log[3]x)2−log[9]x2−12≧0

高校数学「対数関数」対数不等式(log[3]x)2−log[9]x2−12≧0


◆問題

対数不等式(log[3]x)2−log[9]x2−12≧0を解け。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

この問題の場合は、log[3]xについての2次不等式になりそうだな!と気付くことが必要です。

(log[3]x)2−log[9]x2−12≧0
(log[3]x)2−2log[9]x−12≧0

底がそろっていないので、底の変換公式を使って、

(log[3]x)2−2(log[3]x)/(log[3]9)−12≧0
(log[3]x)2−2(log[3]x)/2−12≧0
(log[3]x)2−log[3]x−12≧0

これでlog[3]xについての2次式になりました。
このままではやりにくい!という人は、log[3]x=Aなどとおいて計算してもよいです。
ここではログのままやってみます!
因数分解すると、

(log[3]x−4)(log[3]x+3)≧0

このようになります。
普通に2次不等式の解き方のとおりに、log[3]xの値の範囲を求めます。

log[3]x≦−3,log[3]x≧4

ですね。あとはそれぞれ解きます。

log[3]3=1だから、
log[3]x≦−3・log[3]3
log[3]x≦log[3]3-3
log[3]x≦log[3](1/27)
よって、x≦1/27

log[3]x≧4・log[3]3
log[3]x≧log[3]34
log[3]x≧log[3]81
よって、x≧81

xは真数なので、x≧0です。

これらの共通範囲がこの不等式の解です。

つまり、0≦x≦1/27,x≧81


◆関連項目
指数・対数まとめ
2次不等式3x−2x2<6


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