高校数学「数と式」ａｂ(ａ＋ｂ)＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)＋ｃａ(ｃ＋ａ)＋２ａｂｃの因数分解

高校数学「数と式」ａｂ(ａ＋ｂ)＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)＋ｃａ(ｃ＋ａ)＋２ａｂｃの因数分解


先日の高校生の授業から、１問ピックアップします。


◆問題

ａｂ(ａ＋ｂ)＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)＋ｃａ(ｃ＋ａ)＋２ａｂｃを因数分解せよ。


ａ，ｂ，ｃともにいろいろあって、項もたくさんあります。こんなときは・・・？


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◆解答解説

ａ，ｂ，ｃともにいろいろあって、いくつかカッコがある場合は、まずは全部カッコを外して、どれか１つの文字に注目するとうまくいくことがあります。

　ａｂ(ａ＋ｂ)＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)＋ｃａ(ｃ＋ａ)＋２ａｂｃ
＝ａ²ｂ＋ａｂ²＋ｂ²ｃ＋ｂｃ²＋ｃ²ａ＋ｃａ²＋２ａｂｃ

ａについて降べきの順に整理してみます。

＝ａ²(ｂ＋ｃ)＋ａ(ｂ²2＋２ｂｃ＋ｃ²)＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)

ｂ＋ｃが共通になりそうですね。だから、

＝ａ²(ｂ＋ｃ)＋ａ(ｂ＋ｃ)²＋ｂｃ(ｂ＋ｃ)

ｂ＋ｃ＝Ａとおいて、

＝Ａａ²＋ａＡ²＋ｂｃＡ
＝Ａ(ａ²＋ａＡ＋ｂｃ)
＝(ｂ＋ｃ){ａ²＋ａ(ｂ＋ｃ)＋ｂｃ}

中カッコの中身が２次式なので、まだできないか考えてみると、

＝(ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ)(ａ＋ｃ)

このように直せます。
これで終わりでもＯＫですが、

＝(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)

このように書き換えると美しいですね！


動画での解説はこちら


◆関連問題
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因数分解の方法の見分け方、数と式まとめ


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