【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数１Ａより
第５問
(1) 円Ｏに対して、次の[手順１]で作図を行う。
┌―[手順１]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1) 円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜ 円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜
｜(Step 2) 円Ｏの周上に、点Ｄを∠ＣＯＤが鈍角となるようにとる。 ｜
｜ 直線ＣＤを引き、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＥとする。 ｜
｜(Step 3) 点Ｄを通り直線ＯＣに垂直な直線を引き、直線ＯＣとの交点を｜
｜ Ｆとし、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＧとする。 ｜
｜(Step 4) 点Ｇにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＨとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png
このとき、直線ｌと点Ｄの位置によらず、直線ＥＨは円Ｏの接線である。
このことは、次の[構想]に基づいて、後のように説明できる。
┌―[構想]―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 直線ＥＨが円Ｏの接線であることを証明するためには、 ｜
｜∠ＯＥＨ＝[アイ]°であることを示せば良い。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[手順１]の(Step 1)と(Step 4)により、４点Ｃ，Ｇ，Ｈ，[ウ]は同一円周上に
あることがわかる。よって、∠ＣＨＧ＝[エ]である。一方、点Ｅは円Ｏの周上に
あることことから、[エ]＝[オ]がわかる。よって、∠ＣＨＧ＝[オ]であるので、
４点Ｃ，Ｇ，Ｈ，[カ]は同一円周上にある。この円が点[ウ]を通ることにより、
∠ＯＥＨ＝[アイ]°を示すことができる。
[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｂ {1} Ｄ {2} Ｆ {3} Ｏ ｜
└―――――――――――――――――――――――┘
[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＡＦＣ {1} ∠ＣＤＦ {2} ∠ＣＧＨ {3} ∠ＣＢＯ {4} ∠ＦＯＧ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[オ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＡＥＤ {1} ∠ＡＤＥ {2} ∠ＢＯＥ {3} ∠ＤＥＧ {4} ∠ＥＯＨ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ａ {1} Ｄ {2} Ｅ {3} Ｆ ｜
└―――――――――――――――――――――――┘
(2) 円Ｏに対して、(1)の[手順１]とは直線ｌの引き方を変え、次の[手順２]で
作図を行う。
┌―[手順２]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1) 円Ｏと共有点をもたない直線ｌを引く。中心Ｏから直線ｌに ｜
｜ 垂直な直線を引き、直線ｌとの交点をＰとする。 ｜
｜(Step 2) 円Ｏの周上に、点Ｑを∠ＰＯＱが鈍角となるようにとる。直線｜
｜ ＰＱを引き、円Ｏとの交点でＱとは異なる点をＲとする。 ｜
｜(Step 3) 点Ｑを通り直線ＯＰに垂直な直線を引き、円Ｏとの交点でＱ ｜
｜ とは異なる点をＳとする。 ｜
｜(Step 4) 点Ｓにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＴとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このとき、∠ＰＴＳ＝[キ]である。
円Ｏの半径が√５で、ＯＴ＝３√６であったとすると、３点Ｏ，Ｐ，Ｒを通る
円の半径は([ク]√[ケ])／[コ]であり、ＲＴ＝[サ]である。
[キ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＰＱＳ {1} ∠ＰＳＴ {2} ∠ＱＰＳ {3} ∠ＱＲＳ {4} ∠ＳＲＴ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 平面図形の性質は、中学の内容も重要！
◆２ 接線と半径は垂直に交わる
◆３ 対角の和が１８０°なら頂点が同一円周上
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 接線と半径は垂直に交わる
では今回の問題です。
(1) 円Ｏに対して、次の[手順１]で作図を行う。
┌―[手順１]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1) 円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜ 円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜
｜(Step 2) 円Ｏの周上に、点Ｄを∠ＣＯＤが鈍角となるようにとる。 ｜
｜ 直線ＣＤを引き、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＥとする。 ｜
｜(Step 3) 点Ｄを通り直線ＯＣに垂直な直線を引き、直線ＯＣとの交点を｜
｜ Ｆとし、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＧとする。 ｜
｜(Step 4) 点Ｇにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＨとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png
このように図を描くと、「直線ｌと点Ｄの位置によらず、直線ＥＨは円Ｏの接線」
になります。
まずは、接線の性質を利用して、このことを証明していきます。
円と接線の性質のひとつに、「接線と接点に引いた半径は垂直に交わる」という
ものがあります。
つまり、これが成り立てば、ＥＨがＯの接線であることを証明できます。
∠ＯＥＨ＝９０°を示すのが目標ですね。
よって、[アイ]＝９０
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◆３ 対角の和が１８０°なら頂点が同一円周上
問題の誘導に従って、◆２の内容を述べていきましょう！
「[手順１]の(Step 1)と(Step 4)により」とあるので、これらを確認してみます。
｜(Step 1) 円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜ 円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜
線分ＡＢは弦なので、ＯＣとＡＢは垂直に交わります。
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
