高校数学「数と式」「平方根」ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき

高校数学「数と式」「平方根」ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき


先日の高校生の授業から、１問ピックアップします。


◆問題

ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき、次の値を求めよ。

(1) ｘ＋ｙ
(2) ｘｙ
(3) ｘ²＋ｙ²
(4) ｘ³＋ｙ³


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◆解答解説

いわゆる「対称式」の問題です。
まずは問題の指示の通りに、(1)，(2)を計算してみましょう。

(1) ｘ＋ｙ
ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)なので、通分して足します。

ｘ＋ｙ＝(２＋√３)／(２−√３)＋(２−√３)／(２＋√３)
　　　＝(２＋√３)²／{(２−√３)(２＋√３)}＋(２−√３)²／{(２＋√３)(２−√３)}
　　　＝(４＋４√３＋３)／(４−３)＋(４−４√３＋３)／(４−３)
　　　＝７＋４√３＋７−４√３
　　　＝１４

(2) ｘｙ

ｘｙ＝{(２＋√３)／(２−√３)}{(２−√３)／(２＋√３)}
　　＝(４−３)／(４−３)
　　＝１

これらを使って(3)，(4)を計算していきます。

(3) ｘ²＋ｙ²

(ｘ＋ｙ)²＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²
だから、
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²−２ｘｙ

これに(1)，(2)の解答を代入すると、

　ｘ²＋ｙ²
＝１４²−２×１
＝１９６−１
＝１９５


(4) ｘ³＋ｙ³

３乗なので、３乗の公式を使います。

(ｘ＋ｙ)³＝ｘ³＋３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²
だから、
(4) ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³−３ｘ²ｙ−３ｘｙ²
さらに共通因数をくくれば、
ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³−３ｘｙ(ｘ＋ｙ)

(3)と同様に、(1)，(2)の解答を代入します。

ｘ³＋ｙ³＝１４³−３×１×１４
　　　　　　　＝２７４４−４２
　　　　　　　＝２７０２


◆関連問題
ｘ＋１／ｘ＝３のとき、ｘ^2＋１／ｘ^2の値を求めよ。

数と式まとめ


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