中学数学「１次関数」動点Ｐと三角形の面積の問題

中学数学「１次関数」動点Ｐと三角形の面積の問題

◆問題

ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍの直角三角形ＡＢＣがある。点ＰがＡを出発して、Ｂを通りＣまで移動する。点Ｐがｘｃｍ動いたときの△ＡＰＣの面積をｙｃｍ²として、次の問いに答えなさい。

(1) 点Ｐが次の位置にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。
�@ＡＢ間　　�AＢＣ間

(2) ｙ＝１８となるときのｘの値を求めなさい。

　　Ａ
　��
Ｃ　Ｂ


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◆解答・解説

三角形の面積を表す問題なので、「ｘを使って、底辺や高さを表して、式を立てる」のが標準的な解き方ですが、実はこの場合はそんなことをしなくても、ｘ，ｙの関係式を簡単に求めることができます。

それは、

わかりやすいときのｘ，ｙを求める

という方法です。

ｘ＝０のとき、点Ｐは点Ａ上にあるので、△ＡＰＣの面積はゼロですね。つまり、ｘ＝０のときｙ＝０です。

点ＰがＢまで移動したときは、ｘ＝５です。このとき△ＡＰＣ＝△ＡＢＣだから、面積は５×１２÷２＝３０です。つまり、ｘ＝５のときｙ＝３０です。

この間の面積の変化の仕方は一定なので、ｘ，ｙの関係は１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。
そして、ｘ，ｙの組み合わせが２つわかっているので、それらをｙ＝ａｘ＋ｂに代入することができる。というわけです。

ｘ＝０のときｙ＝０つまり、原点を通るので、ｂ＝０です。

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｘ＝５，ｙ＝３０，ｂ＝０を代入すると、
３０＝５ａ
　ａ＝６

というわけで、�@の答えは、ｙ＝６ｘ

�Aも同様にやっていきます。
ＰがＣまで移動したときは、Ｐは５＋１２＝１７ｃｍ移動していて、△ＡＰＣ＝０ですね。つまり、ｘ＝１７のときｙ＝０です。
点Ｂのときの、ｘ＝５，ｙ＝３０は、ＢＣ間の値でもあるので、そのまま利用すれば、この時点ですでにｙ＝ａｘ＋ｂ上の点が２ヶ所わかっていることになります。
だから、普通に「２点を通る直線式の求め方」で�Aの式を求めることができます。

ｘ＝５，ｙ＝３０のとき、３０＝５ａ＋ｂ
ｘ＝１７，ｙ＝０のとき、０＝１７ａ＋ｂ

これらを連立して解けば、

３０＝−１２ａ
　ａ＝−３０／１２
　　＝−５／２

０＝１７×(−５／２)＋ｂ
０＝−８５／２＋ｂ
ｂ＝８５／２

よって、�Aのときの式は、ｙ＝−(５／２)ｘ＋８５／２


(2) ｙ＝１８となるときのｘの値を求めなさい。
すでに式がわかっているので、ｙ＝１８を代入して計算するだけです。

�@のときはｙは０から３０まで変化し、�Aのときは３０から０まで変化したので、どちらでもｙ＝１８になる瞬間があるはずです。
というわけで、�@，�A両方やっていきます。

�@のとき
１８＝６ｘ
　ｘ＝３

�Aのとき
１８＝−(５／２)ｘ＋８５／２
(５／２)ｘ＝８５／２−１８
(５／２)ｘ＝４９／２
　　　ｘ＝(４９／２)×(２／５)
　　　　＝４９／５


◆関連項目
動点Ｐと三角形の面積(動画)
１次関数まとめ


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