2023年05月26日

高校数学「命題と集合」必要条件・十分条件2017年センター数学1Aより

高校数学「命題と集合」必要条件・十分条件2017年センター数学1Aより


2017年センター数学1A第1問より、必要条件・十分条件や補集合に関する標準的な問題をピックアップしてみました。


◆問題


[2] 実数xに関する2つの条件p,qを

  p:x=1
  q:x2=1
                    _ _
とする。また、条件p,qの否定をそれぞれp,qで表す。

(1) 次の[ケ],[コ],[サ],[シ]に当てはまるものを、下の⓪〜Bのうちから
一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qはpであるための[ケ]。
 pの否定はqであるための[コ]。
 (pまたはqの否定)はqであるための[サ]。
 (pの否定かつq)はqであるための[シ]。

⓪ 必要条件だが十分条件でない
@ 十分条件だが必要条件でない
A 必要十分条件である
B 必要条件でも十分条件でもない


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◆解答解説

必要条件・十分条件の基本的な考え方は、こちらに掲載しています。そもそも「必要条件・十分条件ってなに?」という人は、こちらを参照しながら以下を読んでいってください。

命題p,qは、

  p:x=1
  q:x2=1

と与えられています。

まずは「qはpであるための[ケ]。」です。

q⇒pは、「x2=1ならばx=1」です。
2=1を解くとx=1,−1なので、x=1とは限りません。
つまり反例があります。偽です。

p⇒qは、「x=1ならばx2=1」なので、確かにその通りです。真です。

ということは、「そのままの命題」が偽で、「逆の命題」は真なので、
「pはqであるための必要条件だが充分条件でない」ということができます。


残りの3つも同様に考えてみましょう。

 pの否定はqであるための[コ]。

pの否定は、x≠1つまり、x以外の全ての数です。
「pの否定⇒q」は偽(反例x=2など)、「q⇒pの否定」も偽(反例x=1)
ということで、「必要条件でも十分条件でもない」です。


 (pまたはqの否定)はqであるための[サ]。

「または」は、少なくとも片方に入っているものは全て含むので、
「pまたはqの否定」は「x=1またはx2≠1」つまり
「x=−1以外の数全て」です。
「(pまたはqの否定)⇒q」は偽(反例x=2など)、「q⇒(pまたはqの否定)」も偽(反例x=−1)ということで、これまた「必要条件でも十分条件でもない」です。


 (pの否定かつq)はqであるための[シ]。

「かつ」は、両方の共通部分です。
「pの否定」は「x≠1」つまり「1以外の全ての数」です。
「pの否定かつq」は、「1以外の全ての数」と「x2=1」の共通部分なので、x=−1を意味します。
(pの否定かつq)⇒qは真、q⇒(pの否定かつq)は偽(反例x=1)だから、
「そのままの命題」は真、「逆の命題」は偽なので、
「十分条件だが必要条件でない」となります。


よって、[ケ]=⓪,[コ]=B,[サ]=B,[シ]=@


◆関連問題
『x=0,y=0ならばxy=0である』の真偽
命題と集合まとめ


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