高校数学「不等式の証明」ｘ^2＋５ｙ^2＋２ｘ＋５≧４ｘｙを証明する

高校数学「不等式の証明」ｘ²＋５ｙ²＋２ｘ＋５≧４ｘｙを証明する

◆問題
不等式ｘ²＋５ｙ²＋２ｘ＋５≧４ｘｙを証明せよ。


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◆解答
不等式の証明は、「大きい方から小さい方を引いて、ゼロ以上であることを示す」ことで解決できる場合が多いです。
そして、ゼロ以上であることを示すためには、「何かの２乗」のかたまりをつくっていきます。

この問題でも、この方針でやってみましょう！

　ｘ²＋５ｙ²＋２ｘ＋５−４ｘｙ

ｘの２次式とみなして、平方完成と同じ考え方をしていきます。

＝ｘ²−４ｘｙ＋２ｘ＋５ｙ²＋５
＝
＝(ｘ−２ｙ＋１)²

いったんこのようにして、２行目に展開したものを書きます。

＝ｘ²−４ｘｙ＋２ｘ＋５ｙ²＋５
＝ｘ²＋２(−２ｙ＋１)ｘ＋(−２ｙ＋１)²−(−２ｙ＋１)²＋５ｙ²＋５
＝(ｘ−２ｙ＋１)²

続いて、カッコの２乗で使わなかった項を３行目の残りに書きます。

＝ｘ²−４ｘｙ＋２ｘ＋５ｙ²＋５
＝ｘ²＋２(−２ｙ＋１)ｘ＋(−２ｙ＋１)²−(−２ｙ＋１)²＋５ｙ²＋５
＝(ｘ−２ｙ＋１)²−(−２ｙ＋１)²＋５ｙ²＋５

あとはｙの２次式の部分をまとめます。

＝(ｘ−２ｙ＋１)²−(４ｙ²−４ｙ＋１)＋５ｙ²＋５
＝(ｘ−２ｙ＋１)²−４ｙ²＋４ｙ−１＋５ｙ²＋５
＝(ｘ−２ｙ＋１)²＋ｙ²＋４ｙ＋４
＝(ｘ−２ｙ＋１)²＋(ｙ＋２)²

ｘ−２ｙ＋１，ｙ＋２はそれぞれ実数なので、この式の値はゼロ以上ですね。

＝(ｘ−２ｙ＋１)²＋(ｙ＋２)²≧０

というわけで、大きい方から小さい方を引いたらゼロ以上なので、もとの不等式が成り立つことがわかりました。


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